Представим себе, что в XVIII веке одному русскому помещику, любителю элементарной геометрии, удалось решить особенно каверзную задачу, над которой он бился долгими зимними вечерами. Преисполненный благодарности вдохновившим его небесам, барин велит крепостным мастерицам вышить гладью чертеж к задаче, заказывает благодарственный молебен, а вышивку дарит монастырю. С тех пор висит эта вышивка в храме, все прихожане дивятся красоте невиданной, а самые дотошные пытаются сами решить задачу.
Ситуация неправдоподобная, а между тем, в Японии с начала XVII века и до середины XIX веков геометрия развивалась именно так — не академиками и не профессорами университетов, а самураями. Разве что вышивать гладью чертежи было не принято — их вырезали на деревянных табличках и раскрашивали разными цветами.
Такие таблички по-японски назывались сангаку (это слово означает «счётная табличка» или «математическая табличка»). Их выставляли на всеобщее обозрение в храмах – они представляли собой одновременно и произведение искусства, и математический текст, и вызов соперникам, и дар богам, которые помогли найти решение задачи. Чаще всего на табличках сангаку были представлены задачи по планиметрии, и обычно одни только условия, без решений.
В этих задачах есть своя прелесть, по методам они часто напоминают задачи из школьных учебников планиметрии, но фигур больше, и связи между ними непривычны.
Для любителей есть даже журнал с задачками сангаку — традиционными и современными. Давайте посмотрим на задачку из этого журнала, в которой собрались вместе квадрат, правильный треугольник и окружности.
В квадрат ABCD вписан правильный треугольник BEF и отмечена середина отрезка BE — точка G. Отмечены еще точки I и H . Мы видим три вписанные окружности.
1. Правда ли, что треугольник ADG — правильный?
2. Правда ли, что радиусы окружностей 1 и 2 равны?
3. Правда ли, что радиус окружности 3 вдвое больше радиуса окружности 1?