Геометрия вещь хорошая, с нее начиналась современная математика и совершенно не удивительно, что казалось бы число алгебраическую задачу можно решить при помощи геометрии.
Условие:
Произведение натуральных чисел m и n делится на их сумму. Докажите, что m+n≤ n².
По условию задачи nm=k(m+n). Построим треугольник следующего вида:
Из условия следует, что треугольник DBE подобен треугольнику ABC, так как m/(n+m)=k/n и угол между этими сторонами общий. Из подобия треугольников следует:
То есть (n-k)(m+n)=n². Из построения видно, что n-k≥ 0 (если равно 0, то n=0, чего быть не может так как числа натуральные). Таким образом n² делится на (m+n), а значит m+n≤ n².
Есть и другое решение, но оно какое-то бездушное. Судите сами: n²=n(n+m)-nm= n(n+m)-k(n+m), следовательно n² делится на (m+n), то есть m+n≤ n².
Всем кто дочитал, спасибо за внимание! Удачных вам вычислений!