Квадратные числа 1, 4, 9, 16,... не зря называются квадратными. Делить квадрат на столько квадратиков поменьше легко и приятно:
Не так сложно разделить квадрат на квадратики, даже если не все они одинаковые.
Усложним вопрос:
можно ли разрезать квадрат на меньшие квадраты, среди которых нет двух одинаковых?
В Книге Шкоцкой эта задача появилась под номером 59.
Книга Шкоцкая
Львовские математики в конце 1930-х годов любили собираться в «Шотландском кафе» неподалеку от университета. Жена одного из них, Стефана Банаха, купила им толстую тетрадь, куда каждый желающий мог записать нерешенную математическую задачу. За решение задач часто предлагали награду – гуся, например, или два пива. Тетрадь эту по названию кафе назвали Книгой Шкоцкой (шотландской книгой), и хранилась она у бармена или гардеробщика. То ли эта книга виновата, то ли ароматный львовский кофе, но как раз в эти годы польская математическая школа дала миру глубокие результаты и блестящих математиков: Стефан Банах, Станислав Улам, Вацлав Серпинский, Гуго Штейнгауз, Станислав Мазур, Альфред Тарский...
Эта задача о разрезании уж совсем трудная, и я не удивлюсь, что даже очень упорный читатель с ней не справится. (Хотя попробовать может.)
Только в 1939 г. немецкий математик Р. Шпраг сумел разбить квадрат на 55 попарно неравных квадратов. Как это бывает в нашей науке, сразу началась погоня за рекордами. Несколько последователей смогли несколько улучшить результат: были получены разрезания на 28, 26, 24 квадратиков. И конечно, появился новый вопрос: на какое наименьшее число попарно неравных квадратов можно разрезать квадрат?
На ответ на этот вопрос понадобилось еще 39 лет. За это время появились мощные компьютеры и новая модель разрезания, вместе они дали возможность голландцу Адрианусу Дёйвестейну доказать, что квадрат можно разрезать на 21 меньших попарно неравных квадратиков, что такое разрезание единственно, а меньшее число невозможно.
(Новой моделью разрезания оказалась электрическая цепь.)
Какова площадь самого большого квадратика в этом разрезании?
Выход в пространство
Типичный вопрос исследователя: а что если? А что будет, если от разрезания плоских фигур мы перейдем к разрезанию объемных, от разрезания квадратов -- к разрезанию кубов?
Можно ли один куб разрезать на конечное число попарно неравных кубиков меньшего размера? Какое наменьшее число кубиков для этого потребуется?
А польская математическая школа не пережила войны. Рузевич, автор 59-й задачи из Книги Шкоцкой, погиб в 1942 году. Банаху больше повезло: он стал «кормителем вшей» на заводе по производству противотифозной вакцины. Такая работа во-первых была, и это само по себе было хорошо. А во-вторых, защищала от возможных репрессий со стороны оккупантов. Но он все равно умер в 1945 году от болезней. Улам, про скатерть которого мы недавно читали, уехал в Америку...