Задача
про унылого Пантелея, который у морского брега стоит с двумя ведрами. Одно ведро вмещает ровно π литров воды, а другое ровно e. Пантелей уныл, потому что ему нужно отмерить примерно один литр воды, а он не знает, как это сделать быстро. (Примерно — значит с точностью ±1%.)
За какое наименьшее число переливаний Пантелей может отмерить приблизительно 1л воды своими ведрами? Переливанием считаем переливание воды из одного ведра в другое. Набирание воды или выливание не считается.
Продвижение, но еще не ответ
Если бы ведра были попроще, не π- и е-литровые, а скажем, 10- и 7-литровые, то задача решалась бы гораздо проще. Таких задач с вариациями существует много, и они хорошо исследованы.
А с числами π и е мы не привыкли работать так, как с натуральными -- складывать там, или вычитать. Ни теория наша не работает, ни интуиция ничего не подсказывает. У нас уже появился намек на решение: 57е-49π=1,004... Обеспечивает ли этот намек наименьшее число переливаний? Никто не знает: незадача!
Совершенно другой подход
Если нам не помогает теория чисел и алгебра, мы призовем на помощь геометрию -- подберем ведра!
Саша Забелич спроектировал цилиндрические ведра объемом π и е литров, чтобы отмерить 1 л воды (±1%). Толщина стенок ведра списана в погрешность.
1. Объем π-литрового ведра должен быть 3141,5927 см³. Возьмем высоту ведра 20 см, тогда площадь дна 157,0796 см², а его диаметр 14,1421 cм. (рис.1).
2. Объем е-литрового ведра должен быть 2718,2818 см³. Чтобы было удобно отмерять, у этого ведра возьмем площадь дна на 50 см² меньше площади дна π-литрового ведра.
Тогда площадь дна равна 157,0796-50=107,0796 см², а диаметр 11,7674 см
Площадь дна и объем знаем, остается вычислить высоту: 25,3856 (рис.2).
3. Принцип работы.
Набираем воду в е-литровое ведро.
Ставим е-литровое ведро в π-литровое ведро.
Набираем воду в π-литровое ведро.
Вынимаем е-литровое ведро из π-литрового.
Чудо!
В π-литровом ведре обнаруживаем 50 см² * 20 см = 1 л воды.
И вовсе не чудо, а точный расчет