Мы все интуитивно понимаем, что такое размерность. Мы уверены, что отрезок одномерный, что квадрат двумерный, а куб трехмерный. А вот как размерность определить строго? Как увидеть ее в формуле? Откуда берутся дробные размерности? Это сложные вопросы.
Первым формализовал понятие и сто лет назад создал теорию размерностей Павел Самуилович Урысон.
Подходы здесь есть разные, подход Хаусдорфа, например, работает даже для фракталов -- именно они и дают дробные размерности. Мы сначала научимся вычислять размерность простых множеств, вроде треугольника или куба; увидим, что все интуитивно понятно с ними; а потом уж перейдем к фракталам.
Привычные множества
Самоподбны не только фракталы, но и привычные фигуры, например, отрезок или куб. Посмотрим, как они делятся на подобные себе равные части.
Отрезок
Это совсем простой пример, просто чтобы разобраться, какие понадобятся понятия и обозначения.
Делим отрезок пополам. Каждая часть подобна целому с коэффициентом подобия 1/2, таких частей две. Разделим на три части -- каждая часть подобна целому с коэффициентом 1/3, таких частей 3. Коэффициент подобия обозначим k, число частей обозначим N. Между этими числами есть связь:
Должно быть интуитивно ясно, что эта формула работает для отрезка, на сколько частей его ни дели.
Квадрат
Квадрат легко и просто делить на равные квадратики поменьше, получится картинка как в тетрадке в клеточку. Сторона квадрата может быть разделена на две равные части, тогда маленькие квадратики подобны большому с коэффициентом подобия 1/2. Если сторона квадрата разделена на 3 части, то коэффициент подобия 1/3. И так далее.
Как и для отрезка, коэффициент подобия обозначим k, а число частей N. Эти числа связаны, но не так, как для отрезка. Получается формула похожая, но не совсем:
Задачка. Проверь, работает ли эта формула для трапеции. Для этого придется делить трапецию на равные части, определять коэффициент подобия и подставлять в формулу.
Входит ли размерность в формулу Nk²=1 для двумерных множеств? Похоже, да, ведь появилась двойка. Если вместо двойки взять единицу, то получится формула для одномерных множеств.
Сейчас мы применим важный математический прием: обозначай и обобщай. Чтобы изучить обе формулы сразу, мы введем переменную d -- размерность множества. Тогда сможем записать вместо двух формул одну:
Гипотеза. Эта формула относится не только к отрезку, квадрату и трапеции, но к любому d-мерному множеству, которое делят на N равных частей, подобных исходному множеству с коэффициентом подобия k.
Мы не будем доказывать эту гипотезу и превращать ее в теорему, а только проверим ее на кубе.
Куб
Разделим куб на маленькие кубики, которые подобны большому с коэффициентом подобия k=1/2, 1/3, 1/4... и подсчитаем, сколько частей получилось:
Надо же, верна формула Nk³ =1. Примеры с кубом поддерживают гипотезу при d=3.
Формула для двумерных и трехмерных фигур считается общеизвестной и нужна даже для подготовки к ЕГЭ. Выпускник школы должен справляться с задачами такого рода:
Задачка. Объем одного куба в 8 раз больше объема другого куба. Во сколько раз площадь поверхности первого куба больше площади поверхности второго?
Формула отражает наши интуитивные представления о размерности, а мы возьмем да и распространим ее на более сложные множества.
Фракталы
Треугольник Серпинского
Как построили этот фрактал? Правильный треугольник разделили на 4 равные части и центральную выбросили. С оставшимися тремя частями поступили так же: разделили каждую на 4 равные части и центральную выбросили. И так далее. Получившаяся фигура подобна своей части:
Самая большая часть с первого шага подобна целому с коэффициентом подобия k=1/2. Сколько таких частей нужно, чтобы сложить целый треугольник Серпинского? N=3. Остается подставить чиселки в формулу и получить уравнение на размерность треугольника Серпинского (тс):
Решим это уравнение:
Канторова пыль
Этот фрактал получается из обычного одномерного отрезка. Выбрасывают из него центральную часть, из остатков тоже выбрасывают центральную часть, и так далее. После бесконечного числа итераций от отрезка остается только пыль -- Канторова пыль.
Задачка. Найди для Канторовой пыли N, K и d. Ответ в конце статьи
Тетраэдр Серпинского
От обычного тетраэдра при вершинах (их N=4) оставляют уполовиненные (k=1/2) тетраэдры, а все остальное выбрасывают. Получается уравнение на размерность тетраэдра Серпинского:
отсюда
Это значит, что из трехмерного тетраэдра выбросили так много точек, что осталась двумерная фигура!
Ответ для Канторовой пыли: здесь k=1/3, N=2, размерность