Плюс бесконечность и минус бесконечность используют там же, где и числа:
Поэтому кажется, что это такие штуки вроде чисел.
На самом деле плюс бесконечность и минус бесконечность – это не числа, и не обобщения чисел, а направления движения с намеком на то, что идти надо сколь угодно долго. Когда мы шагаем по числовой прямой в направлении роста чисел, это направление называется «плюс бесконечность», а в другую сторону – «минус бесконечность».
Когда мы говорим, что решения неравенства x>5 – это все числа от 5 до бесконечности, это не означает, что бесконечность – это число. Это значит, что когда мы пойдем от пятерки в направлении «плюс бесконечности», все числа по дороге будут решениями.
Поэтому складывать плюс и минус бесконечности так же, как числа, нельзя.
Еще одна причина в том, что нужно точно понимать смысл слова «сложить». Сложение сначала определяется для натуральных чисел (а не для бесконечностей). Берут два множества (два пакета яблок), подсчитывают количество элементов в каждом (сколько яблок в каждом пакете), потом объединяют множества (ссыпают яблоки в одну сумку) и подсчитывают количество элементов объединении. Потом обобщают эту операцию на другие числовые множества -- на рациональные числа, иррациональные и другие. А для бесконечностей операцию сложения не определяют.
Между прочим, хотя все бесконечности бесконечны, не все среди них одинаковы. Есть такие, что напоминают числа, и их можно сравнивать – какая бесконечность больше, какая меньше, а какие равны. Вот забавный мультик про сравнение бесконечностей: