Предыдущие задачи по теме: Задача 15, Задача 24
Условие:
Докажите, что число 111...1 (243 единицы) делится на 243.
Решение:
Заметим, что 243=3*3*3*3*3. Докажем, что число записанное как 3 в степени n единиц делится на 3 в степени n.
1) База индукции. Число 111 очевидно кратно трем.
2) Предположение индукции. Пусть
3) Шаг индукции. Возьмем число записанное в виде 3 в степени k+1 единиц (Обозначим его M) и разделим его на число записанное как 3 в степени k единиц (обозначим его N). Так как M, это последовательно три раза записанное число N, то после деления получим число вида 10...010...01, где между единицами находится по 3 в степени k-1 нулей. Очевидно, что это число делится на 3 (по признаку делимости на три), а значит и число записанное как 3 в степени k+1 единиц делится на 3 в степени k+1.
Таким образом доказано более сильное утверждение, частным случаем которого является утверждение задачи.
Всем кто дочитал, спасибо за внимание! Удачных вам вычислений!