Натуральный ряд не обязательно изображать на прямой. Однажды во время долгого и скучного доклада Станислав Улам потихоньку развлекался тем, что расположил натуральные числа не на прямой, а на спирали, вот так:
Улам не только нарисовал натуральный ряд, но отметил на рисунке простые числа. Оказалось, что они группируются вдоль диагональных линий:
Это хорошо видно на рисунке с очень маленькими клеточками:
Почему так получается?
Возможно, есть какие-то закономерности, которые заставляют простые числа следовать диагоналям? Тогда надо эти закономерности разыскать!
Но сначала попробуем нарисовать другую скатерть:
Эта скатерть только притворяется квадратной, на самом деле ее можно продолжить только вниз -- она длинная-предлинная. Но и на этих 10 строках видно, что все, кроме 2 и 3, простые числа группируются в двух столбиках, в первом и пятом. Это удивительное совпадение?
Нет, не удивительное и не совпадение. Во вором, четвертом и шестом столбиках все числа четные, здесь простых (кроме 2) быть не может. А в третьем столбике все числа делятся на 3, здесь тоже простых кроме 3 быть не может.
Красные простые числа группируются в двух столбиках не в результате хитросложного заговора, а потому, что деваться им больше некуда.
Вернемся к скатерти Улама. Нет ли здесь чего-нибудь похожего?
На этой картинке вычеркнуты все диагонали с четными числами; поэтому для простых остаются только невычеркнутые диагонали -- с нечетными числами, -- да и то не все. Скажем, на желтой линии стоят квадраты нечетных чисел. Они все непростые и представляются формулой (2n+1)^2. На четыре шага левее желтой линии отмечена линия синего цвета. Раз на 4 шага леве, все числа на ней описываются формулой (2n+1)^2-4. По формуле разности квадратов, которую учили в 7 классе, ее можно переписать так: (2n-1)(2n+3). Дальше на этой диагонали числа стоят не простые, а составные, они распадаются в произведение двух множителей (2n-1) и (2n+3). Есть и другие диагонали, недоступные простым числам.
Поэтому они собираются на доступных диагоналях -- не потому, что специально сговорились, а просто деваться больше некуда.
В том, что местами простые числа собираются в кучки на этих диагоналях, тоже ничего удивительного нет. Было бы странно и неожиданно, если бы они, наоборот, старались распределиться как можно более равномерно.
Вот еще пример: бросали монетку, а результат получился строго равномерный: ОРОРОРОРОРОРОР... , это выглядит подозрительно.
Если бросить монетку 100 раз, то скорее появятся "кучки" -- длинные однобуквенные отрезки типа ООООО или РРРРРР. Если таких кучек не будет, то мы заподозрим, что у монетки есть память, коротенькая как у рыбки. Летит такая монетка и нервничает: "Оёё-ёй, сейчас выпадет орел, а ведь он только что был! Надо срочно перевернуться, чтобы упасть решкой!"
Звезды на небесах тоже не распределены равномерно, а собираются в созвездия. Мы же не подозреваем, что их кто-то собрал с умыслом. Наоборот, если бы звезды в небе расположились через равные приблизительно промежутки, мы бы подозревали причину такого положения дел; астрономы бы стали разбираться, что это за причина.
Интересно было бы провести такой эксперимент. Нарисовать скатерть Улама, вычеркнуть из нее диагонали с непростыми числами, а в оставшиеся места накидать случайных точек -- столько же, сколько простых чисел на скатерти такого размера. Получилась бы похожая картинка?
Кое-какие закономерности среди простых чисел все-таки есть