Все мы с детства слышали о том, что в квантовой механике частицы представлены в виде своих волновых функций. Вопрос о том, что это за волны, оставим физикам, а сами обратимся к математике.
В математике волновая функция имеет вид: Ψ = Ψ(x, t). Эта функция определена в общем случае на всей числовой прямой Ox и зависит от времени. Кроме того, на эту функцию накладывается условие нормировки:
∫ |Ψ(x, t)|² dx = 1
Ну хорошо, учёные из каких-то своих соображений превратили маленькую аккуратную точку в функцию, "размазав" её по всему пространству. Но как теперь с ней работать? Например, у точки было местоположение, которое можно было определить, приложив линейку, и скорость, которую можно было узнать, отследив перемещение частицы со временем. А тут?
А тут, оказывается, всё плохо. Вместо привычных линеек и часов в квантовой механике используется понятие оператора. То есть, квантовомеханические объекты - настолько хрупкие штуки, что любое измерение меняет их состояние. Грубо говоря, к волновой функции нельзя приложить линейку так, чтобы эту функцию не испортить. А изменение волновой функции как раз и описывает соответствующий оператор.
Оператор действует на функцию и переводит её в какую-то другую функцию. Поскольку волновая функция у нас не любая (из-за условия нормировки), то и оператор не может быть каким попало. Физический смысл имеют только так называемые эрмитовы операторы.
Эрмитов оператор L : F(x, t) → G(x, t) обладает интересным свойством. Среди множества всевозможных волновых функций существуют такие Ф(x, t), которые в результате действия этого оператора просто умножаются на какое-то вещественное число:
L : Ф(x, t) → λ ∙ Ф(x, t)
Это число λ у каждой такой Ф(x, t), разумеется, своё. Таких пар
{ Ф1, λ1 }, { Ф2, λ2 }, ..., { Фn, λn }
может быть несколько, а может и вообще бесконечно много. Подобные числа и функции называются, соответственно, "собственными числами" и "собственными функциями" эрмитова оператора L.
Например, рассмотрим квантовомеханическую "линейку". В этом странном мире её роль играет оператор x̂, действие которого на волновую функцию Ψ, согласно учебникам, выглядит так:
x̂ : Ψ(x, t) → x∙Ψ(x, t)
"Что за фигня?!" скажут некоторые, и я не могу с ними не согласиться. У нас была приличная волновая функция, а получилось не пойми что. По крайней мере, условию нормировки эта конструкция справа от стрелки явно не удовлетворяет. Что, после измерения волновая функция перестаёт быть таковой?
Оказывается, дело тут вот в чём. Применение эрмитова оператора трактуется в следующем смысле. Математический результат действия оператора на волновую функцию - это дикая смесь возможных результатов измерений и получившихся волновых функций, из которых природа нам подсунет какую-то одну.
Действительно, в результате измерения мы должны получить одно число. Но с какой-то вероятностью. И новую волновую функцию. Конструкция
x̂(Ψ) = x∙Ψ(x, t)
как раз и содержит в себе ответы на вопросы "какое число?", "с какой вероятностью?", "что останется в итоге?".
Ответ на первый вопрос прост. В результате измерения, соответствующего оператору, будут получаться только собственные числа этого оператора. Например, для x̂ собственные числа - это вся числовая ось Ox.
Ответить на второй вопрос сложнее. Если спектр эрмитова оператора дискретный (т.е., собственных чисел λ1, ..., λn - счётное множество), то вероятность получить в результате измерения, скажем, число λ выражается через соответствующую собственную функцию Ф:
p = | ∫ Ψ(x, t) ∙ Ф(x, t) dx |²
К сожалению, спектр оператора x̂ непрерывный. Поэтому вместо дискретной случайной величины - результата измерений придется рассматривать непрерывную случайную величину. Как известно, непрерывная случайная величина характеризуется своей плотностью вероятности, которая для абстрактного эрмитова оператора L имеет вид:
f(λ) = | ∫ Ψ(x, t) ∙ Ф(x, t, λ) dx |²
а в нашем конкретном случае x̂ совпадает с квадратом модуля волновой функции:
f(λ) = |Ψ(λ, t)|²
Для интересующихся почему так, замечу, что собственные функции оператора x̂, соответствующие собственным значениям λ - это так называемые дельта-функции δ(x-λ), обладающие массой интересных свойств, и в частности тем свойством, что:
∫ f(x) ∙ δ(x-λ) dx = f(λ)
Ну и, наконец, ответ на третий вопрос: после проведения измерения волновая функция частицы будет равна собственной функции оператора L. То есть, для нашего оператора x̂, если в результате его применения мы в некоторый момент t = t0 намеряли у частицы значение координаты, равное a, то волновая функция примет вид Ψ(x, t0) = δ(x-a).
Конечно, в дальнейшем эта волновая функция опять "расплывётся" по оси Ox. Просто это значение будет выступать в качестве начального условия при решении уравнения Шрёдингера для t > t0.
