Обосновывая необходимость вторжения в Ирак, Дональд Рамсфельд сказал: „... есть известные известные — вещи, о которых мы знаем, что знаем их. Есть также известные неизвестные — вещи, о которых мы знаем, что не знаем. Но еще есть неизвестные неизвестные — это вещи, о которых мы не знаем, что не знаем их.“ Несмотря на дикую логику "раз есть неизвестные неизвестные, то надо развязать войну", в словах Рамсфельда о неизвестном было разумное зерно; наверное, он не сам это придумал.
В науке тоже примерно так:
1) есть область известного -- там, где нам кажется, что мы все знаем;
2) есть область известного неизвестного -- мы знаем, чего именно мы не знаем, и научная мысль концентрируется в этом направлении; в математике в области известного неизвестного лежат поставленные, но нерешенные задачи;
3) есть область неизвестного неизвестного -- мы знаем, что она существует, а больше о ней сказать ничего нельзя :(
Научное знание ходит кругами -- когда задача решена, она попадает из 2 в 1, когда удается поставить новую -- из 3 в 2, и неожиданно некоторые области из 1 на самом-то деле лежат в 3, просто мы этого не знаем...
Вот одна история о распределении простых чисел -- тех, которые делятся только на себя и на 1:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, ...
Есть ли в этой последовательности какая-либо закономерность, которая позволяет предсказать появление нового числа? Или хотя бы их количества? На протяжении веков математикам не было известно ничего подобного. Если бы условный Никомах в III веке знал, чего он здесь не знает, то у него было бы направление для размышлений. Но куда думать -- никто не знал.
Ясно, что чем дальше шагаешь по натуральному ряду, тем реже встречаются простые числа. У нас есть компьютеры и мы можем просто поэкспериментировать в этой области. Введем функцию-считалочку π(x) -- количество простых чисел, которые не больше x. Она шагает по натуральному ряду и увеличивается на 1 каждый раз, как набредет на простое число:
π(1)=0, ведь 1 -- не простое число;
π(2)=1, -- сосчитали первое простое число 2;
π(3)=2, -- сосчитали второе простое число 3;
π(4)=2, -- 4 не считается, потому что не простое;
Ну и так далее6 π(5)=3, π(6)=3, π(7)=4, π(8)=4, π(9)=4, ...
Заставим компьютер найти все простые числа до 50000, сосчитать их функцией π(x) и нарисовать график:
Разве повернется язык сказать, что этот график описывает хаотичное и непредсказуемое распределение? Разве похож он на график взбалмашной непредсказуемой функции? Если бы проводились соревнования по унылой предсказуемости среди графиков, этот бы занял одно из первых мест. Однако потребовалось несколько веков, чтобы прояснить его поведение.
Нам повезло: компьютер сделал за нас шаг от неизвестного неизвестного к известному неизвестному. Мы по картинке не можем описать как устроена π(x), но по крайней мере есть направление для размышлений. Мы уверены, что описание есть, даже если его не знаем.
Без компьютера в середине XIX века П.Л. Чебышев доказал неравенства о функции π(x)
0,92129∙ln x < x/π(x) < 1,10555∙ln x.
В условиях, когда никто за тебя картинку не нарисует, эти неравенства всерьез намекали на то, что какая-то закономерность здесь есть. Чебышев даже доказал, что если при больших x ведет себя как cx/ln x, то c=1.
Осталось установить существование асимптотики. Математики уже знали, в какую сторону думать и что доказывать; оставалось сделать шаг от известного неизвстного к хорошо известному.
И точно, через полвека Адамар и Валле-Пуссен доказали существование асимптотики, опираясь на свойства функции Римана. От этого доказательства Чебышева отделял один маленький шаг и одна большая неприязнь к комплексным числам.
Часто пишут, что именно Адамар с Валле-Пуссеном открыли распределение простых чисел, но на самом деле все характеристики распределения были найдены еще до них Чебышевым (который, конечно, не на пустом месте начинал).