Самым древним строгим математическим доказательством многие считают Теорему Евклида, которая впервые была представлена Евклидом в его трудах "Начала" в 300г. до н.э.
Это теорема гласит о том, что множество простых чисел бесконечно.Напомним, простым называется такое натуральное число, которое делится только на себя и на единицу. Единицу принято не относить ни к простым, ни к составным числам.
Простые числа среди натуральных встречаются на первый взгляд часто(среди первых 10 чисел простыми являются 2,3,5,7), однако чем бОльшие числа мы будем рассматривать, тем реже будут встречаться простые числа. Но, тем не менее, встречаться они будут всегда, как далеко бы мы не заходили.
Евклид рассуждал следующим образом:
От противного: предположим, что простых существует конечное число. Обозначим их количество за k. Давайте перечислим все простые числа:
p₁=2 , p₂=3 , p₃=5 , p₄ , ... , pₖ .
Рассмотрим число P = p₁ * p₂ *. . .* pₖ + 1 . Это число есть произведение всех простых плюс единица.
Любое натуральное число большее 1 является либо простым, либо составным.
1) Предположим, что число P - простое. Но P больше любого из перечисленных p₁, ..., pₖ , а значит не совпадает ни с одним из них. Значит мы нашли новое простое. Получили противоречие с тем, что мы выписали все простые.
2) Предположим, что P - составное. Значит, оно должно делиться на какое-то простое число(по определению составного числа). Но очевидно, число P при делении на любое из найденных простых p₁, ..., pₖ дает остаток 1, а значит не делится ни на одно из них. Значит оно делится на какое то другое простое число. Опять получаем противоречие с тем, что мы выписали все простые.
Во всех возможных случаях пришли к противоречию, значит изначальное предположение(то что простых чисел конечное число) неверно. Доказательство завершено.
Удивительно, что такое строгое(даже по нынешним меркам) доказательство было придумано более двух тысяч лет назад!
Если вам понравилось, напишите в комментариях, в истории математики есть множество интересных сюжетов.