Представим, что перед нами стоит следующая задача: необходимо раскрасить бесконечную плоскость в наименьшее количество цветов таким образом, чтобы любые 2 точки на расстоянии 1см были разных цветов.
Некоторые могут спросить "Но как это возможно? На плоскости бесконечное число точек, наверняка всегда будут 2 точки на запрещенном расстоянии одного цвета"
Дабы сразу развеять все сомнения, давайте приведу пример раскраски, удовлетворяющей условиям задачи. Для начала рассмотрим следующий квадрат со стороной 3a( значение a подберем позже ), который разбивается на 9 маленьких квадратов, каждый из которых со стороной, равной a и покрашен в свой цвет.
А теперь давайте заполним всю плоскость данными квадратами, получим следующую картинку:
Посмотрим что у нас получилось: в маленьком квадрате со стороной, равной a, самое большое расстояние - это диагональ, которая равна a√2,
а значит надо потребовать, чтобы диагональ была меньше 1см ( запрещенного расстояния), тогда внутри одноцветного квадрата не будет одноцветных точек на запрещенном расстоянии. То есть имеем a√2<1, или a < 1/√2 = 0,707...
С другой стороны, минимальное расстояние от маленького квадрата до другого квадрата такого же цвета равно 2a ( так как между двумя одноцветными квадратами существует 2 квадрата других цветов), а значит надо потребовать, чтобы расстояние между одноцветными квадратами было больше чем 1см, то есть 2a>1, или a>1/2=0,5.
Получили, что если взять маленькие квадраты со стороной a=0,6см ( на самом деле подойдет любое число между 0,5 и 0,707...), то плоскость будет раскрашена в 9 цветов, причем любые 2 точки на расстоянии 1см будут разных цветов.
Мы рассмотрели один из самых простых случаев раскрасок.На самом деле, математике известны раскраски и в меньшее количество цветов, например в 7. Что самое интересное, математики до сих пор не знают, какое минимальное количество цветов необходимо, чтобы раскрасить плоскость с соблюдением данного ограничения. Ответ находится между 5 и 7[цветов], но точное значение пока никому не известно.
Если вам было интересно, напишите в комментариях, могу показать раскраску в 7 цветов, а так же доказать, почему плоскость не удастся покрасить в 2 или 3 цвета с соблюдением запрета на одноцветные точки на расстоянии 1см.
Всем спасибо! Буду рад вашим вопросам!