Гипотеза Римана -- одна из задач тысячелетия. О чем она?
Посмотрим на такую лесенку:
В ней высота ступенек постепенно уменьшается. Первая ступенька высоты 1, вторая – ½, третья – 1/3 и так далее. Вопрос: эта лесенка ограничена ввысь или пробьет потолок любой высоты?
На этот вопрос ответили братья Бернулли в конце XVII века — тогда и начались приключения гипотезы Римана. Высота первых n ступенек лесенки равна
Оказывается, что если подобрать подходящее число ступенек n, то эту сумму можно сделать сколь угодно большой – лестница пробьет любой потолок наперед заданной высоты. Хотя высота ступенек уменьшается довольно быстро, лестница все равно успевает вырасти.
Математики решили попробовать такие ступеньки, высота которых уменьшается побыстрее. Первая ступенька высоты 1, вторая – (½)^2=1/4, третья – (1/3)²=1/9 и так далее:
И да, такая лестница уже ограничена. Если установить потолок на высоте π²/6≈1,645, то лестница подойдет к нему сколь угодно близко, но не коснется. Эта высота есть сумма обратных квадратов:
Первым эту сумму вычислил Леонард Эйлер. Появление числа π в ответе выглядит удивительно, ведь ничего кругленького в этой сумме не наблюдается. Потом Эйлер решил вычислить сумму обратных кубов:
Но вот это уже не вышло. Не вышло не только у Эйлера, но и у следующих поколений математиков. Найти сумму обратных кубов – знаменитая нерешенная задача математики (хотя и не самая важная). Если ты ее решишь, то прославишься (хотя и не очень).
А теперь посмотрим на важнейший прием в математике: обобщай и обозначай. Рассмотрим суммы всех степеней сразу, вот так:
Мы уже знаем, что ζ(1) не имеет смысла, что ζ(2)=π²/6, и что ζ(3) мы вычислять не умеем. Наш соотечественник Пафнутий Львович Чебышев рассмотрел функцию ζ(s), когда s принимает не только натуральные значения 1, 2, 3, … и так далее, но и остальные действительные значения. (Скорее всего, Чебышев узнал об этой функции, когда разбирал архив Эйлера.) На этом пути Чебышев смог получить серьезные результаты о распределении простых чисел.
Чебышев не любил комплексные и мнимые числа, считал их слишком далекими от реальности. А жаль. Если бы Чебышев разрешил переменной s принимать комплексные значения, то сейчас мы бы с вами изучали функцию Чебышева и проверяли гипотезу Чебышева.
Но гениальную догадку сделал Риман: он впустил в игру комплексные числа. Функция ζ(s), где s — комплексное число, называется функцией Римана.
Гипотеза Римана описывает поведение этой функции, а именно, где находятся ее нули (во всяком случае, самые интересные). Видимо, все они находятся на одной прямой – такой, что действительная часть s равна ½. Это числа вроде s=1/2+iу. Не все эти числа являются нулями дзета-функции, но гипотеза говорит, что все нетривиальные нули находятся среди таких чисел. Компьютерные вычисления не опровергают гипотезу.