Недавно мне встретилась задача следующего вида:
То есть известна сумма заданного вида и нужно доказать, что a+b+c больше либо равно 9. Числа a, b, c при этом действительные и положительные. Казалось бы задача должна решаться какими-то известными преобразованиями и не хитрыми оценками, ведь выглядит она достаточно простой. Но покрутив выражение удалось получить только оценку, что сумма больше либо равна 5, что далеко от требуемой задачи.
Поэтому я решил «Выстрелить из пушки по воробьям» и описать, собственно, этот прием, потому что он может пригодиться и для других задач с оценкой.
Идея: выразить сумму, как функцию одной переменной и исследовать эту функцию.
Решение: пусть для определенности
Мы можем выбрать a таким образом не нарушая никакие условия задачи. Как можно догадаться дальше вся сумма будет выражена через a.
Мы сложили второе и третье слагаемое, затем перенесли первое в правую часть и поменяли местами числители и знаменатели в полученном равенстве. Мы можем так сделать потому, что все числа положительные и a<1 (очевидно, иначе не выполняется условие задачи). Так как задача изначально часть олимпиадной, то применим неравенство между среднеарифметическим и среднегеометрическим.
Подставим в наше равенство и получим:
Вот мы и выразили сумму, через функцию от одного неизвестного. А дальше все просто, найдем производную этой функции и с ее помощью исследуем функцию на монотонность.
Приравниваем к нулю и находим точки экстремума в -1 и в 3. Легко проверить, что на отрезке [-1, 3] функция убывает (знак производной меньше нуля), а значит минимальное значение в точке a=3 и равно оно 9. Таким образом:
Вот такой способ для проведения оценки для нескольких неизвестных. Выразить то, что нужно оценить через функцию от одной переменной и исследовать ее на монотонность.
Надеюсь это было не слишком сложно и вам понравилось. Если у вас есть способ попроще, то пишите в комментариях.