Здравствуйте, уважаемые читатели! В одной из предыдущих статей (ссылка в конце) я начал разбирать тему функций и графиков. Как я говорил, тема эта весьма обширна, поэтому решил продолжить её. Сегодня поговорим о некоторых общих критериях при исследовании любой функции.
Для того чтобы понять, как ведёт себя какая-то конкретная функция, проводят её исследование. Есть определённый план для этого. Некоторые пункты в этом плане можно поменять местами, но, в целом, при изучении этой темы в школьном курсе, порядок был таков.
1. Область определения функции (ООФ). Что такое ООФ? Это множество всех значений аргумента, при которых функция определена, то есть, может быть вычислена. Если аргументом может быть любое число, то говорят, что ООФ - множество всех действительных чисел. Почему действительных? Потому что есть ещё комплексные числа, кватернионы, и др., но при изучении школьного курса они не используются в расчётах. (Немного подробнее о разных группах чисел есть отдельная публикация - ссылка на неё в конце статьи). Если функция задана как f(x) и х может принимать любое значение, то это записывают так: х∈R или х∈(-∞;+∞). Ещё о такой функции говорят, что она определена на всей числовой оси. Примером такой функции может быть любая линейная или квадратичная функция. Например: y=0,5x²+2x-4. А вот её график:
Но так бывает далеко не всегда. Например, когда аргумент стоит в знаменателе дроби, ООФ будет являться множество всех действительных чисел, кроме значения аргумента, при котором знаменатель обращается в ноль. Допустим, есть функция f(x)=8/(x-2). Для неё ООФ - это любое число, кроме 2, так как при х=2 знаменатель дроби обращается в ноль, а на ноль делить нельзя (почему это так, также есть публикация на моём канале, ссылка в конце). ООФ можно записать так: х≠2 или х∈(-∞;2)∪(2;+∞).
Могут быть случаи, когда аргумент находится под знаком радикала (корня) или он логарифмируется, а таже множество других. В таких случаях ООФ могут быть промежутки, а также их объединения. Например: y=√(x-2)+2/(8-x). Её ООФ: x∈[2;8)∪(8;+∞). А вот её график:
2. Чётность и нечётность. Функция чётна, если выполняется условие: f(-x)=f(x). Это значит, что значения функции при любых противоположных значениях аргумента равны, а ещё график такой функции симметричен относительно оси ординат. Например: y=-0,25x². Её график:
Функция нечётна, если выполняется условие: f(-x)=-f(x). То есть при любых противоположных значениях аргумента значения функции также противоположны. График такой функции симметричен относительно начала координат. Например: y=-4sinx. Её график:
Если не выполняется ни одно из двух условий, то функция ни чётная, ни нечётная. Таких функций очень много. Примером может быть уже заданная ранее функция: y=√(x-2)+2/(8-x).
3. Периодичность. Функция периодична, если выполняется условие: f(x+Tn)=f(x), где Т - это определённое число, которое называется периодом функции, а n∈Z. Если данное условие не выполняется, то функция не является периодической. Лучший пример периодических функций - это тригонометрические функции. Например, тангенс: y=0,1tg(x/3)
Примером непериодической функции может быть любая нетригонометрическая.
На сегодня, пожалуй, хватит. Продолжение данной темы будет обязательно в одной из следующих статей.
Спасибо, что прочитали статью. Надеюсь, Вам было интересно. Буду благодарен, если Вы поставите лайк, оставите свой комментарий и подпишитесь на мой канал. До новых встреч!
Ссылки на упоминаемые статьи:
Функции и графики № 1