Приветствую Вас, дорогой читатель, на моём канале!
В предыдущей публикации о логарифмах я обещал Вам, что тема сегодняшней статьи будет число е, приближённо равное 2,718. Те, кто неплохо помнят школьный курс математики, скажут, что это число тесно связано с темой предыдущей статьи, ведь оно - основание натурального логарифма. Именно поэтому я решил, что сегодня логично будет подробнее написать об этом числе. Для начала вспомним, что такое натуральный логарифм. Как я уже писал в прошлой публикации, у каждого логарифма есть основание. Некоторые логарифмы при расчётах используются чуть чаще остальных, поэтому, для удобства, им придумали укороченные названия и обозначения. Речь идёт о логарифмах по основаниям 2, 10, и числу е. Логарифм по основанию 2 называется двоичным (lb), по основанию 10 - соответственно десятичным (lg), а вот по основанию числа е - натуральным (ln). Само название "натуральный" говорит нам, что оно как-то связано с натурой, то есть с природой, с чем-то естественным. Вот теперь перейдём непосредственно к самому числу е: чему оно равно, что означает, как и кто его открыл и, конечно, как оно применяется?
Итак, начнём с того, что число е иррационально, т. е. оно не может быть представлено в виде дроби с рациональными числителем и знаменателем (про рациональные и иррациональные числа можно почитать здесь). Поэтому, это число - бесконечная десятичная непериодическая дробь. Приближённое значение этого числа до девятого знака равно 2,718281828. Кстати, существует простое правило для запоминания числа е до девятого знака: "два, семёрка и два раза Лев Толстой", год рождения нашего великого классика - 1828.
Понять, что означает число Эйлера немного сложнее, чем, например, то же число π. У него нет геометрического смысла, но есть арифметический. Чтобы его понять, предлагаю окунуться в историю его открытия.
1690 год. Швейцария. Один из основателей теории вероятностей и математического анализа Якоб Бернулли задаётся вопросом и находит на него ответ. Вот вопрос: какова предельная (максимальная) величина процентного дохода при постоянной капитализации? Допустим, в начале года у Вас есть единица какой-либо валюты (рубль, фунт, евро, доллар...), и Вы решаете положить эту сумму под проценты. Вы находите банк, предлагающий 100 % годовых. Тогда к концу года у Вас будет 2 единицы валюты. И тут Бернулли подумал: а что если проценты начислять не в конце года, а в конце каждого квартала четырьмя долями по 25 %; при этом в конце второго квартала начислять не на единицу валюты, а уже на капитализированную сумму после первого? Посмотрим, что получится. В начале года: 1; после 1-го квартала: 1х1,25=1,25; после 2-го 1,25х1,25=1,5625; после 3-го: 1,5625х1,25≈1,9531; после 4-го: ≈2,4414. Уже выгоднее! А если начислять проценты каждый месяц по 8,33 % (100/12≈8,33)? К концу года уже получится ≈2,6130. Если начислять каждую неделю по 1,92 % (100/52≈1,92), то к концу года получим ≈2,6926; а если каждый день по 0,27 % (100/365≈0,27), то ≈ 2,7146. Математик задался вопросом: а есть ли предел у такого дохода? Что если получать годовой доход 100 %, складываемый каждую секунду или даже каждое мгновение? Бернулли определил, что это число больше, чем 2,7, но не больше трёх.
Таким образом, один из простых способов понимания смысла числа е таково: оно означает максимально возможную годовую прибыль при 100 % годовых и максимальной частоте капитализации процентов.
Почему же число е называется числом Эйлера, а не Бернулли? Дело в том, что ввёл в математическую практику эту константу именно Эйлер. Он же нашёл 23 знака после десятичной запятой, что на то время было большим достижением!
Чтобы найти число е нужно вычислить следующий предел:
Также эту постоянную можно представить в виде бесконечного ряда, благодаря которому можно найти любое количество знаков после запятой:
Применяется же эта константа в математике повсеместно: при решении многих дифференциальных уравнений, интегрировании, и др. Функция e^x (^ - знак степени) называется экспонентой. И у неё с точки зрения математики есть замечательные свойства. Например, при дифференцировании и интегрировании, экспонента обращается в саму себя. Про дифференцирование (вычисление производной) и интегрирование я в будущем ещё обязательно Вам расскажу поподробней.
Такова история об открытии числа Эйлера, чему оно равно, и где применяется.
Спасибо, что прочитали статью! Надеюсь, Вам было интересно.
Подписывайтесь на канал "Математика для всех", чтобы регулярно читать интересные истории о мире математики.
