Если кратко - то с ним всё не так.
Во-первых и в-последних, такого слова в английском языке ... нет.
Вот нет и всё.
Есть слово homework. А "хоумтаска" нет.
Оксфордский для носителей языка (классический английский)
https://www.oxforddictionaries.com/
Вебстера для носителей языка (амер. английский)
https://www.merriam-webster.com/
Коллинз для носителей языка (альтернативный)
https://www.collinsdictionary.com/
Чего нет в них, в словарях для носителей языка, в словарях для изучающих английский и подавно нет, то есть
ТАКОГО СЛОВА НЕТ
и в Oxford Advanced Learner's Dictionary
https://www.oxfordlearnersdictionaries.com/
и в Cambridge Advanced Learner's Dictionary
https://dictionary.cambridge.org/
в Longman-овском LDOCE
https://www.ldoceonline.com/
и в словаре Macmillan
https://www.macmillandictionary.com/dictionary/british/
ВЫВОД
И, да, если ваш преподаватель говорит про хоумтаски, то попросите показать это слово в словаре. Не сможет найти, к сожалению, но как будет выкручиться - ну, очень интересно. Это слово - то самое "наследие железного занавеса", видимо. Кто-то где-то кому-то сказал, возможно, что в каком-то вузе даже кто-то из преподавателей, а дальше пошло-поехало. Выросло даже больше одного поколения на "хоумтасках". И, да, с этим придётся жить дальше.
СМЫСЛ (бонус-пояснение)
Если носитель языка слышит слово "hometask", то обычно воспринимается слово, как "некое поручение по хозяйству", но кривое-кривое, то есть как аналог household chore. Но вы же знаете, что housework это не то, что учитель вам может задать на дом, в школе или на курсах-то )
