Если спросить, что дала математика философии, то вряд ли кто вспомнит учение пифагорейцев, идею вероятности или разрешения апорий Зенона. Первое место по популярности занимают теоремы Гёделя о неполноте. Мало кто помнит их формулировку, но выводы теоремы, весьма вольно трактуемые, любят упоминать не только математики и логики, но и исследователи в областях естественных и социальных наук, философы и даже богословы.
Первая теорема Гёделя: если формальная арифметика непротиворечива, то в ней существует невыводимая и неопровержимая формула.
Вторая теорема Гёделя: если формальная арифметика непротиворечива, то в ней невыводима некоторая формула, содержательно утверждающая непротиворечивость этой арифметики
И вот эту вторую теорему нынче трактуют так, как удобнее.
Допустим, что внутри какой-то системы знаний нельзя доказать, что эта система непротиворечива. Или что не существует полной и непротиворечивой системы знаний.
А то и вовсе применяют её, чтобы объяснить, что Бог всё-таки есть. Или нет. (По запросу "теорема гёделя о неполноте и существование бога" на 26.03.2019 гугл выдаёт 22 000, а яндекс — 36 млн результатов.) В зависимости от убеждений трактующего.
Ну и кажется, что те, кто так делают — правы, так? Почему бы не использовать философский смысл теоремы к реальным философским проблемам?
Тут есть два замечания.
1. Гёдель говорит про формальную арифметику, а не про любую систему знаний.
Будем откровенны: в формальной арифметике и так много проблем, которые идут ещё из логики. Эти проблемы известны больше двух с половиной тысяч лет. (Вспомните задачу "Протагор и его ученик"?) Учёные и философы, приводящие любую систему знаний к какому-либо формальному виду и применяющие к этой системе знаний логику, как правило, прекрасно это понимает
2. То, что невыводима некоторая формула, содержательно утверждающая непротиворечивость этой арифметики, не значит, что невыводимы все формулы, содержательно утверждающие непротиворечивость этой арифметики.
Невыводима же не любая формула, а некоторая.
Вторую проблему буквально несколько лет назад подробно разобрал российский философ Бессонов. Более того, он продемонстрировал доказуемую формулу, которая вполне выражает непротиворечивость формальной арифметики.
Короче говоря, глобальное значение теорем о неполноте переоценено. Что же на самом деле от них остаётся? Вот что считает философ:
От этой теоремы остается только нечто вроде «если PA непротиворечива, то в ней имеется некоторая формула, одним из возможных способов «выражающая» непротиворечивость PA и недоказуемая в PA.
При этом существуют другие, ничуть не хуже «выражающие» непротиворечивость PA и доказуемые в PA формулы».
Поэтому, как говорит Бессонов, «арифметика не может доказать свою непротиворечивость, только если она (или кто-то из её пользователей) очень этого не хочет».