А вы решите эту задачу:
Для решения знаменитой задачи Рачинского можно использовать и дополнительные знания о закономерностях суммы квадратов. Речь идет именно о тех суммах, которые называются последовательностями Рачинского. Так математически можно доказать, что следующие суммы квадратов равны:
- 3^2+4^2 = 5^2 (обе суммы равняются 25)
- 10^2+11^2+12^2 = 13^2+14^2 (сумма равняется 365)
- 21^2+22^2+23^2+24^2 = 25^2+26^2+27^2 (что составляет 2030)
- 36^2+37^2+38^2+39^2+40^2 = 41^2+42^2+43^2+44^2 (что равняется 7230)
Чтобы найти любую другую последовательность Рачинского, достаточно просто составить уравнение следующего вида (обратите внимание, что всегда в такой последовательности справа количество суммируемых квадратов на один меньше, чем слева):
n2 + (n+1)^2 = (n+2)^2
Это уравнение сводится к квадратному уравнению и легко решается. В данном случае «n» равняется 3, что соответствует первой последовательности Рачинского, описанной выше (32+42 = 52).
Таким образом, решение знаменитого примера Рачинского, можно произвести в уме еще быстрее, чем было описано в данной статье, просто зная вторую последовательность Рачинского, а именно:
10^2+11^2+12^2+13^2+14^2 = 365 + 365
В итоге уравнение с картины Богдана-Бельского принимает вид (365 + 365)/365, что, несомненно, равняется двум.