Давайте заниматься ерундой!
Поставим на чистом лиcте бумаги точку, и будем считать, что это единица. Так же, как и в учении Пифагора, она будет для нас началом всех начал и элементарным кубиком, из множества которых построена Вселенная.
Мы можем добавлять к этой точке еще одну точку за одной, выстраивая их в линию. Количество точек в линии будет увеличиваться на одну: 1, 2, 3, 4, ..., образуя давно знакомый нам ряд натуральных чисел. За то, что эти числа образуются как количество точек на линии, их можно называть линейными.
Мы можем сделать из исходной точки треугольник, то есть добавить еще две точки. Пусть для красоты этот треугольник будет равносторонним. Будем добавлять к этому треугольнику еще точки и получать новые равносторонние треугольники, сохраняя одинаковое расстояние между точками. Количество точек в треугольнике будет изменяться, образуя ряд треугольных чисел: 1, 3, 6, 10, ...
Подобным образом мы можем получить ряд квадратных чисел, пятиугольных и так далее.
Фигура, которая добавляется к фигурному числу, чтобы получить следующее фигурное число той же формы, называется гномон. Общее правило получения следующего фигурного числа: добавить к двум смежным сторонам по точке, а затем заполнить точками новые стороны.
Но, кроме такого способа увеличения многоугольников, существует также способ, состоящий в окружении центральной точки многоугольными слоями. Таким образом получаются центрированные многоугольные числа: треугольные, квадратные, пятиугольные и так далее.
Кроме правильных многоугольников фигурные числа могут принимать и другие формы:
- продолговатое число - натуральное число, являющееся произведением двух последовательных натуральных чисел;
- прямоугольное число - натуральное число, являющееся произведением двух других натуральных чисел. Квадратное и продолговатое числа - частные случаи прямоугольных чисел. Если бы в определении прямоугольного числа не было слова "других", то другим частным случаем были бы линейные числа (т.е. все натуральные), потому что любое число можно представить, как произведение самого себя на единицу.
- трапецеидальное число - натуральное число, являющееся разностью двух треугольных чисел, не являющихся соседними. Трапецеидальное число можно геометрически представить в виде равнобокой трапеции. Если бы треугольные числа, образующие трапецеидальное, были последовательными, то трапеция выродилась бы в линию.
- ступенчатое число - натуральное число, являющееся суммой двух или более последовательных натуральных, то есть линейных чисел. Если эта сумма начинается с числа 1, то ступенчатое число становится треугольным, в противном случае ступенчатое число совпадает с трапецеидальным.
- гномоническое число - это фигурное число,форма которого совпадает с гномоном к какому-либо другому фигурному числу. Например, квадратно-гномоническое число имеет форму буквы L с равными сторонами.
- полиграмное, или центрированное звездчатое, число - это натуральное число, полученное из центрированного многоугольника, дополненного с каждой стороны треугольными числами соответствующего размера.
- крестовое число - натуральное число, которое геометрически представляется в виде равностороннего креста.
- ацтекское число - натуральное число, равное количеству точек в ацтекском бриллианте - фигуре, образованной четырьмя равными ступенчатыми фигурами, соединенными по боковым сторонам.
- ромбическое число - натуральное число, геометрически состоящее из креста и ступенчатых чисел, заполняющих его квадранты.
Количество точек и остальные свойства перечисленных, а также многих других плоских и объемных фигурных чисел уже подробно исследованы многими выдающимися математиками. Тем не менее они представляют достаточный интерес для начинающих любителей этой науки, тем более, что изыскания не требуют знаний, превышающих школьную программу, и могут быть использованы для участия в школьных научно-практических конференциях.
Подписывайтесь, ставьте лайки и следите за обновлениями. В следующих статьях мы продолжим экскурсию по теории чисел.