Всем привет.
В предыдущей статье мы узнали о трех "древнейших" пропорциях из десяти, которые приводит древнегреческий ученый Никомах Герасский в своей книге "Введение в арифметику". Сейчас речь пойдет об остальных. Никомах называет их просто по номерам.
Четвертая пропорция противоположна гармонической. Она получается, когда большее из трех чисел относится к меньшему так же, как разность между меньшими относится к разности между большими. Примером такой пропорции служат числа 3, 5 и 6. Число 6 относится к числу 3 так же, как разность 5-3 относится к разности 6-5.
Пятая пропорция такова, что среднее число относится к меньшему так же, как разность между ними относится к разности между большим и средним. Например, среди чисел 2, 4 и 5 среднее 4 относится к меньшему 2 так же, как разница между средним и меньшим 4-2 относится к разнице между большим и средним 5-4.
Шестая пропорция такова, что большее число так относится к среднему, как разность между средним и меньшим относится к разности между большим и средним. Для трех чисел 1, 4 и 6 отношение 6 и 4 равняется отношению разности 4-1 к разности 6-4.
Седьмая пропорция получается, когда большее число так относится к меньшему, как их разность относится к разности среднего и меньшего. Среди чисел 6, 8 и 9 число 9 так относится к числу 6, как разность 9-6 относится к разности 8-6.
Восьмая пропорция возникает, когда большее число относится к меньшему так, как их разность относится к разности большего и среднего. Среди чисел 6, 7 и 9 число 9 относится к числу 6 так же, как разность 9-6 относится к разности 9-7.
Девятая пропорция состоит в том, что среднее число относится к меньшему так же, как разность крайних к разности меньших. Например, в тройке чисел 4, 6, 7 отношение числа 6 к числу 4 равняется отношению разности 7-4 к разности 6-4.
Десятая пропорция получается, когда среднее число относится к меньшему так же, как разность крайних к разности больших. Из чисел 3, 5, 8 число 5 относится к числу 3 так же, как разность 8-3 относится к разности 8-5.
И вот все десять пропорций вместе.
И все же три первые "древние" пропорции Никомах связывает в одну.
Здесь:
- 12 относится к 8 так же, как 9 к 6, и это геометрическая пропорция;
- 12 превосходит 9 на столько же, на сколько 9 превосходит 6, и это арифметическая пропорция;
- разность между 8 и 6, равная 2, составляет такую же долю от 6, какую разность между 12 и 8, равная 4, составляет от 12, и это гармоническая пропорция.
Вот и всё, что пишет Никомах о числах, их отношениях и пропорциях в своем труде "Введение в арифметику".
Подписывайтесь, ставьте лайки и следите за обновлениями, а я найду для вас что-нибудь еще, чтобы долго и нудно ковыряться в числах долгими зимними вечерами, словом, всё как вы любите!