Начнем с общих вопросов. Аналитическая функция (заданная хоть где-нибудь сходящимся степенным рядом) может быть продолжена на всю свою область определения (которая ей присуща, а не задается извне), и, соответственно, представлена в данной точке из области определения некоторым сходящимся степенным рядом. Возможно, не одним. Подставив туда данное комплексное число, найдем значение функции. Их может быть несколько, если рядов больше одного.

Впрочем, не все функции во всех точках аналитические, даже среди элементарных. Корень, например, не аналитичен в нуле, хотя определен там...

Если функция задана через четыре действия арифметики (конечное число операций), то проблем с вычислением нет: арифметика определена полностью и однозначно.

Это многочлены и дробно-рациональные функции, то есть отношение двух многочленов. Довольно обширный и хороший класс функций. В него входят, в частности, все целые степени.

Если приходится делить на нуль, то либо получится полюс, если предел бесконечен, либо устранимая особая точка, если предел конечен. Других вариантов в данном случае не будет, хотя в общем случае бывают еще существенно особые точки, в которых предел по разным кривым может быть вообще любой, и в любой окрестности такой точки функция принимает все значения, или все кроме одного. Про особые точки я рассказывал.

Пример устранимой точки: нуль для z/z или sin(z)/z. Пример полюса: нуль для 1/z или (z+1)/z².

Примером функции с существенно особой точкой является exp(1/z): нуль именно такая точка, причем экспонента принимает в любой окрестности нуля все значения, кроме нулевого. А sin(1/z) тоже имеет существенно особую точку в нуле, но принимает в окрестности вообще все значения, без исключений.

Если мы добавим рациональные или вещественные степени, то тоже все делается, только теперь значений может быть много, и может теряться аналитичность: функция может быть определена в точке, но не быть аналитичной.

Комплексные степени вводятся через формулу Эйлера, которую я уже много раз приводил:

Что делает формула Эйлера — вопрос, кстати, очень тонкий. Я планирую скоро выпустить материал на эту тему. Можно сказать, что она задает функцию "экспонента", особенно если записать формулу так:

Для любого комплексного a+bi мы можем определить степень числа е.

Хотя обычно определение экспоненты другое, через ряд, например. Экспонента однозначна, так что все в порядке. Еще можно сказать, что формула Эйлера задает одно из значений (главное значение) степени числа е с показателем ix. Как найти остальные значения, я рассказывал.

Наконец, можно сказать, что формула Эйлера позволяет выразить комплексное число, записанное в тригонометрической форме, в форме экспоненциальной. Аналог: теорема Лагранжа о том, что любое натуральное представимо в виде суммы четырех квадратов. Ну а здесь любое комплексное с модулем единица представимо в виде числа е в некоторой мнимой степени (которая есть аргумент числа, умноженный на i).

В любом случае, формула Эйлера дает правило, как возводить число e в мнимую степень. По обычным правилам степени можно научиться возводить е в любую комплексную степень (получая, впрочем, только одно из значений), что вторая из приведенных формул и описывает.

Теперь мы можем любое комплексное число записать в экспоненциальной форме через модуль и аргумент:

Что такое модуль и аргумент — сейчас не столь важно. Главное, что любое число можно так записать, причем модуль однозначен, а аргумент многозначен ("плюс два пи" ничего не меняет), а для нуля аргумент вообще не определен и можно взять любой.

Традиционно с большой буквы пишут многозначные функции, а они же с малой означают "главное значение" или одну из "ветвей".

После этого легко определить логарифм (который всегда бесконечнозначен) для всех ненулевых чисел:

Логарифм многозначен, поскольку многозначен аргумент: 2πi можно добавить всегда.

А умея вычислять логарифм, можно вычислить любую степень любого числа (кроме нуля):

Здесь z и w — любые комплексные числа, z не равно нулю. Экспоненты мы считать умеем, аргумент имеет много значений — какие-то экспонента может "переварить", так как она имеет период 2πi, а какие-то останутся. Может, два, как у корня, а может, и бесконечно много. Их всегда бесконечно много, просто иногда кое-какие совпадают.

Нет только степеней нуля, кроме положительных. Причем все степени, кроме целых, всегда многозначны.

Теперь тригонометрия. Из формулы Эйлера для x и -x получаем формулы для синуса и косинуса, которые распространяем на любые комплексные x:

Отсюда видно, что синус и косинус принимают все комплексные значения. Шутка про "значение синуса в военное время может достигать четырех" не такая и смешная. Может, и даже в мирное, и больше может. Возьмите косинус и x=3i и получите больше 10.

Поделив одну на другую, получим тангенс:

Когда поделили, i осталось ввнизу, а 1/i=-i.

Теперь обратные тригонометрические функции. Арксинус x=arcsin(z) определяется уравнением z=sin(x) относительно x. Решаем:

Это квадратное уравнение относительно экспоненты.

Записываем корни квадратного уравнения (в комплексных числах всё так же, через дискриминант, как в школе учили):

Как вычислить тангенс, арксинус, логарифм, корень, любую степень любого комплексного числа? И как найти все значения?-10

Ну, и логарифмируем (с учетом, что 1/i=-i):

Например, при z=0 имеем -iLn(±1), то есть 0 или -iπi=π. А для z=1 получим π/2. Это главные значения, но есть еще много, как и полагается арксинусу.

Аналогично с арккосинусом:

При z=0 имеем -iLn(±i)=-i(±πi/2)=±π/2. При z=1 имеем нуль.

С тангенсом еще проще. Уравнение tg(x)=z; подставляем, преобразуем, выражаем x:

Для z=0 все понятно, будет нуль. При больших по модулю z под логарифмом будет близко к -1, то есть он принимает значение около ±πi, в итоге имеем ±π/2. При z=1 интересно, см. ниже.

У арктангенса есть особые точки в ±i. Именно поэтому разложение в ряд в окрестности нуля сходится в круге радиуса 1. Так что тангенс не может равняться i или -i.

Вычислим арктангенс числа 1. Для этого поделим i+1 на i-1, домножив на i+1 сверху и снизу. Снизу получим квадрат модуля, это 2, а сверху, по формуле квадрата суммы, 2i. Под логарифмом стоит i, число с модулем 1 и аргументом π/2. Получаем π/4, как и положено.

Замечу, что никто не мешает использовать эти формулы без всякой ТФКП, если у вас в программной библиотеке (или калькуляторе) логарифм есть, а арккосинуса нету. Главное, аккуратно обработать все вхождения i, чтобы они самоистребились, а не выдали ошибку.

Путеводитель по каналу