Многие из вас знают разные методы быстрого вычисления. Но не все задумываются об их природе.
Умножение чисел, близких к сотне
Вот, например, как предлагают на многих ресурсах умножать два числа, находящихся между 90 и 100.
Сумму дополняющих до сотни чисел вычитают из сотни и пишут первыми, а потом дописывают произведение этих дополняющих чисел.
Запомнить не трудно. Но откуда это взялось?
Запишем множители в виде (100-а) и (100-b), где a и b - те самые дополняющие до сотни числа. А потом перемножим эти скобки.
(100-a)*(100-b) = 100*100 - 100a - 100b+ab
В первых трех слагаемых вынесем сотню за скобку:
100*(100-a-b)+ab = 100*(100-(a+b))+ab
Выражение 100-(a+b) двузначное. Оно и есть те самые 100 минус сумма дополняющих до сотни цифр. При умножении их на 100 мы получаем двузначное число с «хвостом» из двух нулей. В нашем случае 9300.
a и b максимально равны 9, если мы умножаем 91 на 91. Их произведение равно максимально 81 - то есть двузначному числу. Тогда сумма четырехзначного числа, у которого два последних разряда - нули и двузначного числа есть «приписывание» к первым двум разрядам двух последних, являющихся как раз произведением дополняющих до сотни чисел. В нашем случае 12.
Отсюда и получается число 9312
Возведение в квадрат двузначного числа, оканчивающегося на 5
Тоже известный прием. При возведении двузначного числа, которое оканчивается на 5, мы умножаем цифру десятков на следующую за ней, а дальше приписываем 25. Например 15² следует записать так 1*2 и приписать 25, то есть получим 225.
А вот секрет этого правила. Запишем двузначное число как 10*a+5, где a - число, находящееся в разряде десятков.
Тогда квадрат этого числа равен (10a+5)²=100a² +2*10*5*a +25 = 100a²+100a+25
Чуть сгруппируем множители: 100*a*(a+1) + 25
Мы снова видим, что a*(a+1) - это некое число, как мы писали выше - произведение числа десятков на следующее за ним, умноженное на 100, то есть имеющее в конце как и в предыдущем случае два нуля. вместо которых к произведению десятков и приписывается 25.
Между прочим, это работает не только с двузначными числами. Например, 125² = (10*12+5)²=100*12²+100*12+25=100*12*(12+1)+25
12*13=156, а 125²=15626
Почему же это не работает с другими числами? Взяли бы любое число, да и произвели такое же, только в конце бы приписали квадрат не пятерки, а того, что стоит в конце.
А не работает это по следующей причине. Если в конце числа стоит не пятерка, то при возведении скобки в квадрат удвоенное произведение не равно сотне. И вынести за скобку ничего не получается.
Вот смотрите, представим двузначное число, оканчивающееся, например, на 7, в виде (10*a+7). Тогда квадрат этого числа: (10*a+7)²=100a²+2*10*7a+49=100a²+140a+49
Если с пятеркой 2*10*5*a мы получали 100а и могли это вынести за скобку, то с любыми другими числами мы не получаем сотни. И весь фокус не работает.
Пишите в комментариях, секреты каких еще методов или фокусов вы хотели бы узнать.