Каждый раз, когда разговор заходит о бесконечности в математическом смысле, мне вспоминаются слова одного профессора. Он говорил, что не стоит очень долго об этом думать, ведь подобные мысли довели до сумасшествия немало математиков. Но этот дивный и загадочный мир, так и тянет к себе. Давайте аккуратно заглянем.
0,(9) = 1
Этот простой пример можно показать детям, которые уже изучили периодические десятичные дроби и умеют переводить их в обычные. Используя тот же самых алгоритм, они сами получат это равенство. А после будут озадаченно смотреть на вас, пытаясь понять, что же случилось.
Парадокс «Гранд-отель»
Впервые сформулирован Давидом Гильбертом в 1924 году, для объяснения свойств бесконечных множеств. Представьте, что вы являетесь владельцем отеля в котором счетное количество комнат. Счетное значит, что комнат бесконечно много и все они пронумерованы.
Все комнаты в отеле заняты и вот заходит человек с просьбой его заселить. Сможете вы это сделать?
Потребуются некоторые усилия со стороны ваших гостей, но это возможно. Переселим постояльца из первой комнаты во вторую, из второй в третью, из третьей в четвертую и т.д. Таким образом, у нас освободится комната номер один, куда мы и заселим нового гостя.
Неплохо, да? Но самое интересное впереди.
Представьте, что к вам зашел не один новый гость, а бесконечно много и все жаждут жить в вашем отеле. Пять звезд, бесплатные завтраки и всё это за умеренную цену. Кто от такого откажется? Можем ли мы их расселить? Элементарно. Переселим постояльца из первого номера во второй, из второго в четвертый, из третьего в шестой, из номера n в номер 2n. Тогда у нас будут заняты все чётные номера, а все нечётные освободятся, а так как нечётных чисел бесконечно много, то можно расселить в них всех новоприбывших.
Теорема Банаха-Тарского
Обратите внимание, что это теорема. То есть, при определенных вводных (аксиомах) это утверждение является истинным.
Разные шары, но из одного можно собрать другой. И это еще не самое страшное. Дело в том, что из этой теоремы вытекает, что любой шар можно разбить на два шара ничем не отличающихся от исходного. Ужас, не правда ли?
Хотя ничего страшного не произошло. Дело в том, что когда мы размышляем о трехмерных фигурах и их разбиениях, мы думаем про объём. И естественно, нам кажется, что при разбивании фигуры на части, её объём будет равен сумме объёмов частей. Но в теореме Банаха-Тарского речь идет о другом. Дело в том, что не всякое подмножество пространства имеет объём, даже ограниченное. Существует определенный класс подмножеств, для которых можно сформулировать определение объёма, как численной характеристики с определенными свойствами. Но, когда в теореме мы разбиваем шар на подмножества, они не относятся к этому классу.
Добавлю, чтобы вы не сильно переживали, для двумерного случая, теорема Банаха-Тарского не верна.