Чем больше работаем, тем больше результат. Это не всегда случается в человеческой жизни, но в случае электрических цепей чаще всего это так. Работа электрического поля по перемещению единицы заряда - это напряжение. В результате этой работы по цепи течет электрический ток. Чем больше напряжение, тем больше сила тока.
Зависимость вида "чем больше, тем больше" может выглядеть следующим образом:
Возможно три варианта:
- суперлинейная, когда сила тока увеличивается быстрее, чем напряжение.
- линейная, когда сила тока пропорциональна напряжению
- сублинейная, когда сила тока увеличивается медленнее, чем напряжение.
Эти варианты реализуются в разных системах:
- а) Суперлинейная зависимость имеет место в вакууме или в случае пробоя диэлектрика, а также в полупроводниковых диодах, включенных в прямом направлении.
- б) Линейная зависимость характерна для проводников при не слишком больших напряжениях, без учета нагрева. Здесь имеет место тот самый закон Ома, который будет выведен далее.
- в) Сублинейная реализуется в проводниках, которые нагреваются под действием протекающего в них тока, а также в полупроводниковых диодах, включенных в обратном направлении.
В этой статье мы остановимся на проводниках, в которых реализуется линейная зависимость, и получим закон Ома для участка цепи. Надо сказать, что несмотря на всю простоту этого закона, получается он довольно непросто, и требуется много модельных предположений. В школе его не выводят, в вузе выводят в дифференциальном виде, а я дам нечто среднее - выведу из готовых школьных формул с дополнительной информацией.
Силы, действующие на электрон
Рассмотрим электрон, находящийся внутри кристаллической решетки проводника. В школе их называют "свободные электроны" в противоположность "связанным", но надо понимать, "связанные" связаны с одним атомом, а "свободные" могут перемещаться внутри металла, но не могут его покинуть, так как связаны со всем кристаллом. В университетском курсе вместо "связанных" и "свободных" используют термины "валентные электроны" и "электроны проводимости"
Со стороны электрического поля на электрон действует сила Кулона, пропорциональная заряду электрона и напряженности поля (F_е на рисунке). Сила Кулона не зависит от скорости электрона, она разгоняет его в направлении, противоположном вектору напряженности поля, так как электрон имеет отрицательный заряд. Со стороны кристаллической решетки действует сила сопротивления (F_c), пропорциональная скорости и направленная противоположно движению электрона.
Почему сила сопротивления зависит от скорости? Чем быстрее движется электрон, тем чаще он сталкивается с дефектами. Вопреки распространенному мнению, электронам при движении мешают вовсе не атомы кристаллической решетки, а различные дефекты и неоднородности. При сравнительно небольших скоростях, при которых не создается значительный нагрев, эта зависимость будет иметь линейный характер. На графике эта зависимость изображена прямой линией, и наклон этой прямой определяется свойствами вещества.
Электрон разгоняется под действием электрического поля, и при некоторой скорости V* сила сопротивления становится равна силе электрического поля. Начиная с этого момента разгон прекращается, и электрон движется равномерно со скоростью V* - это равновесная скорость дрейфа. Далее мы будем обозначать ее просто V.
Подвижность электронов
Для разных величин электрического поля равновесная скорость дрейфа электронов будет различной (см. рисунок 3а). Рисунок 3 получен из рисунка 2 просто делением на заряд электрона - чем выше напряженность поля, тем дальше она пересекает прямую, характеризующую силу сопротивления. Так как зависимость силы сопротивления от скорости является линейной, то и зависимость скорости дрейфа от напряженности электрического поля тоже будет линейной (см. формулу на рисунке 3)
Эта линейная связь выражается простой формулой, выделенной желтеньким на рисунке. Коэффициент пропорциональности, обозначенный греческой буквою "мю", называется подвижностью электронов. Подвижность определяется углом наклона прямой зависимости силы сопротивления от скорости, причем чем круче идет прямая (больше сила сопротивления), тем меньше подвижность. На рисунке 3 б) изображена такая ситуация, вторая прямая идет ниже первой, равновесная скорость больше, и подвижность больше.
Вывод закона Ома
От рассмотрения движения электронов в рамках выбранной модели можно приступить к выводу закона Ома. Мы воспользуемся школьной формулой для силы тока, в которую входит заряд электрона, концентрация электронов, скорость их движения и площадь (формула 1 на рисунке). Также нам понадобится приведенная выше формула с подвижностью (формула 2). И еще одна школьная формула связи напряжения и напряженности поля (формула 3).
Из этих трех формул, группируя всё и вводя новые обозначения, мы получаем и закон Ома, и выражение для сопротивления через длину и площадь проводника.
Получается, что линейность закона Ома вытекает из линейности формулы подвижности. Важным фактором также является то, что концентрация электронов в проводниках не зависит от напряжения. В полупроводниках, например, это не так, и там закон Ома не выполняется.
Итак, вывод закона Ома довольно нетривиален, не зря в школе его не выводят. Экспериментально доказать этот закон тоже было нелегко. Сам Георг Симон Ом столкнулся с рядом трудностей, например, необходимо было исключить влияние нагрева, и современники не сразу оценили полученную им зависимость - казалось, это слишком просто.
Удивительно то, что этот закон, выведенный из большого количества нетривиальных фактов, так прост и так часто реализуется на практике. Воистину повезло школьникам и электрикам! Насколько сложнее было бы рассчитывать цепи и решать задачи, если бы что-то пошло не так.
На этом заканчиваю статью, если возникли вопросы, пишите в комментариях.
Понравилась статья? Что-то стало понятно? Ставьте лайк!
Буду рада новым подписчикам!