Нашла две интересные задачи по геометрии. Приглянулись они мне тем, что несмотря на довольно замысловатое условие, решаются просто. Поехали!
Задача 1
Квадрат и равносторонний треугольник, стороны которых равны 1, имеют общую вершину. В них вписаны окружности (см. рис). Найти расстояния между центрами окружностей.
Решение
Давайте введём систему координат. Скорее всего вы подумали: "Зачем? И без неё всё можно решить." Могу ответить только одно. Хочется.
Теперь найдём координаты центров окружностей и вычислим расстояние между ними. Так как сторона квадрата равна 1, а центр окружности лежит в точке пересечения диагоналей, то координаты точки G будут (-0,5; 0,5). Чтобы узнать координаты центра окружности вписанной в треугольник, нам потребуется формула для радиуса этой окружности. Можно использовать теорему Пифагора (для треугольника FJB) и теорему о точке пересечения медиан треугольника или тригонометрические функции, чтобы найти эту координату.
Осталось использовать формулу для нахождения расстояния между двумя точками по их координатам и получить ответ.
Задача 2
Три квадрата со сторонами а, 2а, 3а, стороны которых расположены последовательно на одной прямой, расположены внутри равностороннего треугольника со стороной 1. Найти а.
Решение
Рассмотрим треугольники МЕА и JIN: углы М и N равны по свойству равностороннего треугольника, углы А и I прямые, так как они смежные углам квадрата. Значит треугольники МЕА и JIN подобны, с коэффициентом подобия 3, то есть IN в три раза больше MA. Обозначив МА за икс, можем составить следующее равенство:
Теперь выразим из треугольника МА икс через а (углы треугольника МЕА равны 90, 60, 30 градусов, а значит можно использовать тригонометрические функции) и решим полученное уравнение.
Встречались ли вам подобные задачи? Пишите в комментариях.