Приветствую Вас, уважаемые Читатели! В математике до сих пор огромное количество нерешенных задач. Многие из них не решаются уже десятки и сотни лет, а некоторые даже на обозримом горизонте еще очень далеки от разгадки. В 2000 году Математический институт Клэя определил "7 задач тысячелетия", за каждую из которых обещана премия в 1 млн. долларов. Разберемся же, что это за задачи. Поехали!
Задача № 1. Гипотеза Пуанкаре
Начнем с единственной задачи, которая на данный момент решена нашим соотечественником Григорием Перельманом в 2002 году, отказавшимся, кстати, от вознаграждения из-за своих нонконформистских взглядов и убеждений.
Всякое замкнутое n-мерное многообразие гомотопически эквивалентно n-мерной сфере тогда и только тогда, когда оно гомеоморфно ей
Доказательство гипотезы привело к важным выводам об устройстве окружающего нас пространства: благодаря ее доказательству, мы можем утверждать, что нашу трехмерную Вселенную можно свернуть в точку, что, в свою очередь, косвенно подтверждает теорию Большого взрыва.
Задача № 2. Равенство классов P и NP
Основная проблема теории алгоритмов, изучающей в т.ч. вычислительную сложность задач. Класс задач сложности P - это задачи, для которых мы знаем алгоритм, работающий "быстро" (за полиномиальное время). Пример такой задачи - это сложение двух чисел, сортировка элементов множества и т.д.
Класс задач сложности NP - это задачи, для которых мы можем только "быстро" проверить, но неизвестен алгоритм, с помощью которого мы можем так же "быстро" решить её. Пример такой задачи - это разложение числа на простые множители.
Например, для числа 385723674 мы можем "быстро" проверить, есть ли в его разложении простое число 1249, однако можем ли мы создать способ, который "настолько же алгоритмически быстро" вычислит разложение этого числа, равное 2 ∙ 3^3 ∙ 7 ∙ 19 ∙ 43 ∙ 1249 ? "Настолько же алгоритмически быстро" - значит в той же самой зависимости по времени от исходных данных.
Положительное решение задачи равенства классов P и NP приведет к тому, что современные методы шифрования, основанные на разложении на простые множители, могут потерять актуальность, потому что у каждого будет такой же быстрый алгоритм дешифровки. Однако, современные ученые склоняются к тому, что классы сложности задач не равны.
Задача № 3. Гипотеза Ходжа
Одна из самых важных задач алгебраической геометрии, изучающей геометрические объекты, задаваемые алгебраическими уравнениями, пользуясь методами которой, Эндрю Уайлз доказал теорему Ферма.
Гипотеза утверждает, что "для проективных алгебраических многообразий класс Ходжа представляет собой рациональную линейную комбинацию классов алгебраических циклов".
Ключевое понятие алгебраической геометрии - это инвариант. Давайте предположим, что есть два объекта, равенство которых нужно показать. Как это сделать ? Например, можно установить некоторые свойства этих объектов, и, если они не окажутся одинаковыми, сделать вывод о различии объектов. Эти свойства и есть инварианты.
Например, как проверить, что два текста одинаковы ? Если размер текстов не совпадает, то и сравнивать нечего, но если он совпадает, то значит ли, что тексты и впрямь одинаковые? Конечно, в общем случае, нет. В этом и состоит гипотеза Ходжа простыми словами: "существует ли набор инвариантов для заданного сложного геометрического объекта, по которому можно комплексно судить о его свойствах и равенству другим объектам"?
Задача № 4 Гипотеза Бёрча-Свиннертон-Дайера
Еще одна задача из алгебраической геометрии. Посвящена она свойствам эллиптических кривых - одного из краеугольных камней криптографии с открытым ключом. Эллиптическая кривая в общем случае задается таким уравнением:
Эллиптические уравнения разделены на 3 общих класса: они не имеют, имеют конечное или бесконечное множество решений. Математиков же среди этого многообразия интересует рациональность решений, т.е. рациональность пар (x,y).
В 1922 году Луис Морделл доказал, что для любой эллиптической кривой можно сгенерировать все рациональные пары (x,y), начав с небольшого их числа, например, 1 или 2. Количество точек в таком начальном наборе называется рангом эллиптической кривой. Если ранг равен 1, то весь бесконечный набор рациональных пар (x,y) можно сгенерировать из одной. Максимальный известный ранг на данный момент - 19.
Гипотеза Бёрча-Свиннертон-Дайера предполагает, что существует общая формула для вычисления ранга эллиптических кривых.
Кстати, многие математики склоняются к тому, что подтвердить гипотезу в общем случае невозможно. К тому же, эта гипотеза очень сильно завязана на справедливость гипотезы Римана, так же входящей в список "задач тысячелетия".
Остальные три задачи рассмотрим позже! Не думал, что материал так разрастется! Читайте про не менее важную математическую задачу - формулу идеального сэндвича!
ССЫЛКА НА ДЗЕН-КАНАЛ и TELEGRAM.