Давно хотел написать эту статью, но всё никак руки не доходили. Публикую "по просьбам трудящихся".
Предупреждаю сразу: Очень длинно и очень подробно, для тех, кто реально хочет разобраться, почему дети в школе плохо понимают уравнения.
Уравнения - довольно многогранная штука. Я зайду к ним со стороны естественных наук (наиболее естественный вариант, как мне кажется).
Моделирование формулой
Вот у нас есть какая-то ситуация. В ней мы можем измерять величины, получая числа. И у нас есть законы, которые связывают между собой эти самые числа (с помощью арифметических действий).
Природа так устроена, что мы не сможем намерить что попало и как хотим. Числа в процессе измерений будут получаться такими, что обязательно будет следующее:
Если мы подставим числа (результаты измерений) в формулу (физический закон) и выполним все действия, то равенство будет истинным. (Слева и справа от = будут одинаковые числа)
Как бы мы ни влияли на ситуацию, на какие хитрости бы ни шли, а природа всё равно обязательно проследит, чтобы равенство оставалось верным*.
*В силу всевозможных погрешностей измерений, приблизительности самих законов и прочих мелочей мы получим лишь почти верное равенство. Лучшего наука нам пока не дала, поэтому мы должны принимать это почти как совсем.
Нужно сказать даже более того: если мы вдруг не сможем измерить какую-то величину, то природе на нашу несостоятельность наплевать, и она опять сделает равенство верным. Для нас оно будет "дырявым", без одного числа, но от этого менее верным не станет.
Например, для закона Менделеева-Клапейрона обычно бывает трудно измерить количество вещества (считать молекулы - это застрелишься). И будет тогда P•V=_•R•T. Или с числами что-то типа такого 99720•0,05=_•8,31•300
Такие равенства [двух выражений], в которых значение одной из величин нам неизвестно, называются уравнениями. Как правило (но не обязательно), в математике величина с неизвестным значением ("неизвестная величина" или просто "неизвестная") обозначается буквой х (икс).
Уравнения в математике и школе
Математики склонны убирать несущественное. Формально, для того, чтобы понять, что на месте дырки должна стоять двойка, не требуется ситуации, названия формулы, измерений, единиц измерения, личных обозначений величин и прочих "лишних" деталей. Можно просто обойтись числами, действиями и каким-то указанием на величину с неизвестным значением (икс)
99720•0,05=x•8,31•300
После "зачистки" получилось классическое школьное уравнение.
Учителя в школе то ли не понимают всего вышеизложенного, то ли ещё по каким причинам не считают нужным поднимать этот вопрос. (На самом деле, я знаю эти причины.) Они сразу выдают математически стерильные уравнения, даже не пытаясь намекнуть детям, что буква x - это трагедия несостоявшегося измерения в реальном мире.
Не удивительно, что встаёт ребром вопрос, а на... простите... зачем эти уравнения нужны?
О решении уравнения
Учителя требуют решать всяческие уравнения, не сильно объясняя, что значит "решить уравнение", и уж тем более, не поясняя, что такое "корень уравнения". Практика показывает, что для подавляющего большинства детей и корень уравнения, и решение уравнения - это то, что получится в результате выполнения преобразований и вычислений. (Одно и то же)
Но мы-то должны уже понимать, что решить уравнение - это значит "найти все его корни...". Иными словами - узнать то число, которое получилось бы в результате изменения величины с неизвестным значением.
В принципе, никто не мешает нам попытаться подобрать такое число, которым заткнём дырку, чтобы равенство было верным не только для природы, но и для нас. Если немного потыкать калькулятор, то мы получим верное равенство, заткнув дырку в уравнении 99720•0,05=x•8,31•300 числом 2. Что и будет значением неизвестной величины.
Это оттого, что если бы мы бросили все силы на измерения, и правдами или неправдами всё-таки измерили это количество вещества, то получили бы как раз 2 моля.
Именно такое число называется корнем уравнения, и смысл корней уравнений - это возможные результаты изменений
В физическом законе левую и правую части уравнивает природа, а в математическом уравнении уравнивает человек, который его решает.
Разные уравнения
Если так подходить к уравнениям, то, вообще говоря, нет разницы между линейным уравнением из первого класса и трансцендентным уравнением (типа уравнения Кеплера)
Но разница всё-таки есть, и она в том, насколько легко узнать корень в разных типах уравнений.
Если мы будем решать уравнения подбором, как это и положено по определению, то столкнёмся с двумя непреодолимыми (для человека) проблемами.
Первая: даже в самом примитивном уравнении мы можем подбирать числа до конца своих дней, но так и не получить корня. Например в уравнении x²=3 мы можем очень близко подойти к корню, но точно не попадем, а в уравнении x²+1=0 даже близко не подойдём.
И вторая: если вдруг нам несказанно повезло, и мы узнали корень, то где гарантия, что нет второго числа, которое тоже подойдёт и сможет заткнуть дырку. В реальности встречаются и такие ситуации, когда разный ход событий даёт одинаковый результат (баллистика, обратная кинематика)
Так вот для самых простых уравнений обе проблемы математики смогли решить. (Почти все они проходятся в школе.) И решение это очень изящное:
Аналитическое решение уравнений
Для некоторых уравнений есть способ не подбирать корни, а вычислить. Это решение одних проблем и одновременно источник других.
Именно благодаря этому у детей и создаётся впечатление, что корень уравнения есть результат вычислений, а у взрослых возникает непреодолимое желание обучить детей алгоритму вычисления корней и заявить, мол, мы детей математике научили.
Список таких уравнений безумно короткий. В школе их всего полдюжины.
Для каждого из этих уравнений есть своя теорема о корнях (а то и не одна).
Уравнения не из этого списка решить вычислениями невозможно (в рамках школьной программы).
Например, уравнение x²=x+6 уже не попадает ни под одно в списке.
Но
Математики и тут нашли выход.
Преобразования уравнений
Технически, название не очень точно отображает суть.
Уравнение не изменяется, а просто выбрасывается со словами "это мы решать не умеем, поэтому будем решать другое".
Кроме шуток, так и происходит. Как бы со мной сейчас ни спорили.
Мы не умеем решать уравнения, где слева x², а справа не ноль. Нет у нас под него теоремы. Выбросим уравнение x²=x+6, и будем решать x²-x-6=0
Вы видите, что уравнения разные? В одном сложение, в другом вычитание, например. Плевали природа и математика на то, что вы действовали сейчас по каким-то одним вам известным правилам типа "при переносе через равно знак меняется" (нет в математике такой теоремы).
Вы решаете другое уравнение. Значит, и корни могут быть другими.
Или нет?
В математике есть теоремы, которые позволяют так делать: Выбрасывать одно уравнение и решать другое таким образом, что корни второго на 100% совпадут с корнями первого (или не на 100, но и это учитывается).
Это порой очень сложные теоремы с серьёзными ограничениями по возможности применения, называются теоремами о равносильности (следствиях) уравнений.
Их комбинации с другими теоремами алгебры и определениями (порой десятки штук) и становятся методами решения уравнений. Эти методы можно запоминать как алгоритмы - безусловно. Это туда, а то сюда. Но в таком случае мы выкидываем всю математику напрочь. Все теоремы, определения и т.п. Вот вы сможете назвать, какие теоремы лежат в основе правила "при переносе через равно знак меняется"? Хотя бы сколько их? Хотя бы примерно... Нет? Почему-то я так и думал.
Теоремы алгебры являются такими кирпичиками, из которых строится метод. Как Лего.
Можно дать ребенку собранный заранее конструктор. Только вот если он случайно упадет, собрать его снова малыш уже не сможет. С другой стороны, если он сам из россыпи деталей собрал Millennium Falcon, то в будущем сможет собрать что угодно.
Поэтому начинать необходимо именно с теорем, а после освоения их, можно давать методы как комбинации теорем.
Уравнения в начальной школе
Вот и добрались до второй части заголовка.
Хоть мне и кажется, что обсуждать тут уже нечего, всё ясно и без слов, но я всё же скажу явно.
Просмотрите глазами все предыдущие части и после всего этого подумайте, о каком уровне понимания уравнений может идти речь в первом классе. В ПЕРВОМ КЛАССЕ!
- Ситуации, в которых невозможно измерить некоторые величины?
- Законы физики, геометрии, химии, естественные связи, в которые входят эти неизвестные величины наравне с другими, известными?
- Формализация реальной ситуации с буквой х, указывающей на числовое значение неизвестной величины?
- Подбор?
- Теоремы о корнях уравнений?
- Теоремы об равносильности (следствиях) уравнений?
- Методы решения уравнений как комбинации теорем и определений алгебры?
Я Вас спрашиваю, адепт Петерсон, учитель начальной школы. Персонально каждого: что из этого списка способен усвоить мозг семилетнего ребенка?
Того ребёнка, который пришел в класс и с удивлением разглядывает свою поднятую руку, знак готовности ответить учителю, на вопрос?
Да, да, это он самый, который не понимает, почему при вопросе "на сколько больше?" надо вычитать?
Это всё может быть усвоено только на уровне магической манипуляции буквами и цифрами.
И даже ладно, Чёрт с ним, давайте это ахалаймахалайство. Но не называйте словом "уравнение". Даже созвучных, однокоренных и ассоциативных слов не произносите.
Вы понимаете, что это обман? Что ребенок же честно верит в то, что когда он вычитает из левого числа правое, это и есть решение уравнений.
И после этого, когда в седьмом классе у него мозг дозревает до всего этого, объяснить что-то уже невозможно, потому что человек просто отказывается принимать "такие сложности", потому что его уже научили переносить через равно с другим знаком. Эффект утёнка: кого первого увидел, тот и уравнение. А я называю этот эффект "петерсон головного мозга"
Общее заключение
Уравнения - очень сложная вещь (количество текста косвенно об этом свидетельствует). Я разобрал здесь числовые уравнения, то есть те, в которых неизвестными могут быть скалярные величины. Их только и проходят в школе. Но тот же подход, те же принципы могут с полным успехом применяться к тем ситуациям, когда неизвестными могут быть векторные или матричные величины, кватернионы и так далее. Не говоря уж о такой ситуации, когда неизвестными являются действия с величинами (функции). Их тоже можно подбирать или определять по известным теоремам (дифуры, в частности). Разбираться с этими вещами куда труднее, чем с числами.
Но
Стоит ребёнку в школе понять основы числовых уравнений, ему останется лишь разобраться с новыми объектами и действиями с ними, чтобы абсолютно все описанные принципы сработали и с другими уравнениями.
Напротив, алгоритмы решения хотя бы матричных уравнений настолько сложны и объёмны, что привычный к простым алгоритмам без понимания студент никогда в жизни их не освоит (придется списывать)
Частное заключение
Я прекрасно понимаю, что большинство учителей начальной школы даже не задумываются о том, что уравнения - это чуть больше, чем вычитание из правого левого и "чтобы найти неизвестное слагаемое...". Винить их в том было бы глупо, особенно, если учесть, что 9 из 10 дочитавших мои труды до конца воскликнули "вот идиот, зачем такие сложности, когда можно просто это туда, а то сюда!" или (как правило, учителя математики среднего звена) сидят сейчас и думают "мы их алгоритмам-то научить не можем, а тут какие-то теоремы".
Одно скажу точно: в сути разбираться всегда легче. Да и замки строить начинают не с поклейки обоев.