В 1995 году на финале Всероссийской олимпиады школьников десятиклассникам была предложена задача
Решите уравнение cos(cos(cos(cos(x))))=sin(sin(sin(sin x))).
Авторы задачи - В.А. Сендеров и И.В. Ященко.
Выглядит задача страшно, но если аккуратно рассматривать четверти, в которых лежит x, становится легче.
Заметим, что обе части уравнения - 2pi-периодические функции, поэтому достаточно рассмотреть уравнение на полуинтервале [0;2pi).
Пусть вначале x в третьей или четвертой четверти. Тогда sin x<0 и, следовательно, sin(sin(sin(sin x)))<0.
С другой стороны, |cos(x)|<1, тогда значение cos(cos(x)) принадлежит отрезку [0;pi/2]. Следовательно, cos(cos(cos(cos(x))))>0.
Пусть теперь x лежит в первой четверти. Заметим, что тогда sin x, cos x, sin(sin x), cos(cos x), sin(sin(sin x)), cos(cos(cos x)) неотрицательны и не превосходят 1.
Кроме того заметим, что sin x+cos x<=sqrt(2)<pi/2.
Тогда
cos(cos(x))>cos(pi/2-sin(x))=sin(sin(x))
и
sin(cos(x))<sin(pi/2-sin(x))=cos(sin(x)).
Из этих неравенств получим
cos(cos(cos(x)))<cos(sin(sin(x))),
поэтому
cos(cos(cos(x)))+sin(sin(sin(x)))<cos(sin(sin(x)))+sin(sin(sin(x)))<pi/2.
Значит,
cos(cos(cos(x)))<pi/2-sin(sin(sin(x)))
и, следовательно,
cos(cos(cos(cos(x))))>cos(pi/2-sin(sin(sin(x))))=sin(sin(sin(sin(x)))).
Осталось рассмотреть случай, когда x находится во второй четверти.
Сделаем замену x=pi/2+y. В этом случае y будет лежать в первой четверти, а уравнение примет вид
cos(cos(cos(sin(y))))=sin(sin(sin(cos(y)))).
Заметим, что каждое из чисел cos(sin(y)) и sin(cos(y)) принадлежат отрезку [0;pi/2].
Значит, cos(cos(cos(sin(y))))>sin(sin(cos(sin(y)))).
А так как функция y=sin(sin(x)) возрастающая на [0;pi/2], то
sin(sin(cos(sin(y))))>sin(sin(sin(cos(y)))).
Итак, доказано, что при всех x
сos(cos(cos(cos(x))))>sin(sin(sin(sin(x)))).