{"draftJsState":{"blocks":[{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"В 1995 году на финале Всероссийской олимпиады школьников десятиклассникам была предложена задача\n\nРешите уравнение cos(cos(cos(cos(x))))=sin(sin(sin(sin x))).\n\nАвторы задачи - В.А. Сендеров и И.В. Ященко.","type":"unstyled","key":"a29o2"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":7,"offset":253,"style":"BOLD"},{"length":9,"offset":265,"style":"BOLD"}],"text":"Выглядит задача страшно, но если аккуратно рассматривать четверти, в которых лежит x, становится легче.\n\nЗаметим, что обе части уравнения - 2pi-периодические функции, поэтому достаточно рассмотреть уравнение на полуинтервале [0;2pi).\n\nПусть вначале x в третьей или четвертой четверти. Тогда sin x<0 и, следовательно, sin(sin(sin(sin x)))<0.\n\nС другой стороны, |cos(x)|<1, тогда значение cos(cos(x)) принадлежит отрезку [0;pi/2]. Следовательно, cos(cos(cos(cos(x))))>0.","type":"unstyled","key":"ah5k6"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":6,"offset":23,"style":"BOLD"}],"text":"Пусть теперь x лежит в первой четверти. Заметим, что тогда sin x, cos x, sin(sin x), cos(cos x), sin(sin(sin x)), cos(cos(cos x)) неотрицательны и не превосходят 1.","type":"unstyled","key":"crntf"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Кроме того заметим, что sin x+cos x<=sqrt(2)cos(pi/2-sin(x))=sin(sin(x))","type":"unstyled","key":"d6k3s"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"и","type":"unstyled","key":"eb1gn"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"sin(cos(x))cos(pi/2-sin(sin(sin(x))))=sin(sin(sin(sin(x)))).","type":"unstyled","key":"dhto4"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":6,"offset":50,"style":"BOLD"}],"text":"Осталось рассмотреть случай, когда x находится во второй четверти.","type":"unstyled","key":"8glck"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Сделаем замену x=pi/2+y. В этом случае y будет лежать в первой четверти, а уравнение примет вид","type":"unstyled","key":"dgbfi"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"cos(cos(cos(sin(y))))=sin(sin(sin(cos(y)))).","type":"unstyled","key":"1skft"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":1,"offset":40,"style":"ITALIC"}],"text":"Заметим, что каждое из чисел cos(sin(y)) и sin(cos(y)) принадлежат отрезку [0;pi/2].","type":"unstyled","key":"f8fa"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Значит, cos(cos(cos(sin(y))))>sin(sin(cos(sin(y)))).","type":"unstyled","key":"255hl"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"А так как функция y=sin(sin(x)) возрастающая на [0;pi/2], то","type":"unstyled","key":"33o7s"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"sin(sin(cos(sin(y))))>sin(sin(sin(cos(y)))).","type":"unstyled","key":"9n5t5"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":31,"offset":0,"style":"BOLD"}],"text":"Итак, доказано, что при всех x ","type":"unstyled","key":"6ete5"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"сos(cos(cos(cos(x))))>sin(sin(sin(sin(x)))).","type":"unstyled","key":"654c"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"","type":"marker","key":"oTayrVa7o5dn1JNV1RAe"}],"entityMap":{}},"mentions":[]}