Поскольку алгебраический метод решения бывает подчас наиболее эффективным при решении экзаменационных задач, то считаю необходимым публиковать задачи на данный метод решения.
Важно отметить, что ДВИ (дополнительные вступительные испытания) на инженерные факультеты обычно включают именно такие геометрические задачи. Понятно, что от будущего инженера требуется не только знание основных геометрических фактов, но и умение провести расчеты.
Следующую задачу принес один из моих учеников. Решение было верное (с помощью координатной плоскости) — самый инженерный подход (!), однако сложновато, на мой взгляд.
Итак, сама задача, опубликованная в журнале CRUX (математического общества Канады) в феврале 2015 года.
Дан △ABC (a = BC, b = AC, c = AB). Отрезки АМ и АН — медиана и высота △ABC, их расположение см. на рисунке.
Известно, что ∠AСВ = 2 ∠МAН.
Докажите, что (a − b)² = 2c² − b².
Разумеется, предлагаю вам сначала доказать равенство самостоятельно.
Идея решения
Обозначим ∠МAН = ф.
Тогда ∠AСВ = 2ф, ∠AМС = 90° + ф, ∠САМ = 90° − 3ф.
По теореме косинусов имеем равенство, в котором «мешается » cos 2ф. Как от него избавиться?
По теореме синусов для △ACМ получим соотношение (после несложных преобразований)
a / cos 3ф = 2b / cos ф.
Не надобности знать наизусть формулу для косинуса тройного угла, но все-таки надо помнить, что в этой формуле присутствуют с какими-то коэффициентами косинус угла и куб косинуса угла.
То есть, из последнего равенства можно вывести формулу для cos² ф (через a и b), ведь cos ф сокращается.
А в одном из трех вариантов для формулы cos 2ф как раз встречается cos² ф.
Таким образом, можно избавиться от cos 2ф.
Далее всё должно сойтись само собой!
Примерно так желательно рассуждать, а не пытаться сначала выписать одну формулу, «повозить» ее (может быть что-нибудь выйдет толковое), потом другую формулу и т.д.
То есть действуем не «на авось», а целенаправленно.
Использованные формулы:
cos 3ф = 4 cos³ ф − 3 cos ф
cos 2ф = 2 cos² ф − 1 = cos² ф − sin² ф = 1 − 2 sin² ф
Краткое решение
1) с² = a² + b² − 2ab cos 2ф
2) a / cos 3ф = 2b / cos ф
a = 2b (4cos² ф − 3)
cos 2ф = (a + 2b) / 4b
3) с² = a² + b² − a (a + 2b) / 2
∎