Это тот факт из геометрии, который часто встречается и в ЕГЭ (хоть в профиле, хоть в базе), и на олимпиадах.
О чем сам факт?
Вроде, ничего сложного. Но почему-то про этот факт частенько забывают. Давайте, чтоб лучше запомнить - посмотрим, откуда корни растут. Ну и заодно научим свой глаз "замечать" такие конструкции в рисунках.
Действительно, а почему так?
Давайте дорисуем этот прямоугольный треугольник до прямоугольника.
Достроив треугольник АВС до прямоугольника АВСЕ, получаем, что точка D - это точка пересечения диагоналей. А в прямоугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, DB=DA=DC (и даже равно DE!)
Как еще можно запомнить, что медиана к гипотенузе равна половине гипотенузе?
Поскольку угол В - прямой, то он опирается на диаметр (т.е. АС - это диаметр). Значит, раз D - середина диаметра, это центр окружности. И тогда DA, DC, DB - это радиусы окружности и они равны :)
Порешаем задачи из ЕГЭ?
Задача 1
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 30. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.
Воу-воу, это же задание сразу на предыдущий рисунок с окружностью, и его можно решить устно! Гипотенуза прямоугольного треугольника - это диаметр описанной окружности, значит, радиус - просто в 2 раза меньше гипотенузы. Получаем 30:2=15. Легко ведь?
Задача 2
В треугольнике АВС угол С - прямой, АС = 8, ВС = 15. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.
Давайте сделаем чертеж, чтоб понять, что к чему.
Давайте раскрутим эту задачу "с конца". Нам нужен радиус - это половина гипотенузы. А что нам нужно, чтоб найти гипотенузу, если мы знаем 2 катета? Применить теорему Пифагора. Все, осталось только посчитать все.
Задача 3
Острые углы прямоугольного треугольника равны 87 градусов и 3 градуса. Найдите угол между биссектрисой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
Сразу внесем в чертеж все, что дано в условии. Отметим и меньший угол А, что он 3 градуса, и то, что у нас ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ треугольник (С - прямой), и тогда раз CD - биссектриса, то углы CBD и ACD равны по 45 градусов. И, конечно, раз у нас медиана СМ проведена к гипотенузе, отметим, что СМ=АМ(и равно МВ).
Что нам дает равенство СМ=АМ? Треугольник АМС - равнобедренный, значит, углы при основании равны. То есть угол ACM тоже равен 3 градуса!
А тогда чему равен угол МСD? MCD = ACD - ACM = 45 - 3 = 42 градуса.
Вот такая легкая задача оказалась, если внимательно читать условие и помнить о свойстве медианы к гипотенузе :)
А какие задачи по планиметрии (задание 6 из профиля или же задание 15 базы) у вас вызывают сложности?
