Сегодня поговорим о свойстве биссектрисы, которое необходимо хорошо запомнить всем кто планирует сдавать экзамен на пять.
Биссектриса треугольника делит третью сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам:
если AL - биссектриса:
Доказывать это свойство сегодня не будем. Пользоваться им при решении задач на экзамене можно, т.к. в курсе геометрии это свойство доказывается!
Посмотрим как его применять при решении задач.
Сделаем рисунок к задаче (удобнее начать построение с окружности, в которую потом впишем треугольник, далее строите биссектрису СМ и касательную, проходящую через точку С):
продолжаете сторону АВ до пересечения с касательной в точке D.
Записываем, что дано из условия задачи и что необходимо найти
Решение этой задачи сложится, если заметить, что
Треугольник BDC обведен зеленым цветом, треугольник ADC - красным цветом. Подобны они по двум углам:
значит
Если треугольники подобны записываем следующие пропорции:
Последнее отношение в равенстве - это отношение сторон исходного треугольника. Значит воспользуемся СВОЙСТВОМ биссектрисы:
Учитывая
Получаем следующие соотношения:
Раскроем пропорции крестом (по диагоналям):
Из рисунка заметим, что BD-DA=АВ; АВ=АМ+МВ=13
Тогда
Если после умножения найти разность выражений получим:
Или
Если у вас есть другие способы решения этой задачи обязательно пишите в комментариях.
Если вы знаете того, кто готовится к ОГЭ не забудьте поделиться с ним этой информацией. Всегда пригодится.