Я много раз напарывался на споры о том, нужно ли второклассникам давать коммутативный закон умножения. Этот вопрос поднимался даже на моём канале.
Вот сейчас я кое-что объясню.
В учебниках начальной школы русским по белому написано, что если мы берем 4 пять раз, то писать надо 4•5, и никак не наоборот. (Даже у Петерсон)
Учителя часто не могут донести это до родителей малышей, а те искренне не понимают, почему их чаду нельзя пользоваться коммутативностью умножения.
Хочешь, не хочешь, а надо разбираться со смыслом.
В сложении оба слагаемых однотипные, оба обозначают количество одинаковых предметов. Там коммутативность настолько очевидна, что порой её даже не проходят.
В умножении множители уже разные: один обозначает количество предметов, а другой - количество раз. Если вы в реальной жизни перепутаете предметы и разы, то будет плохо. И коммутативность умножения, вообще говоря, не так очевидна: довольно удивительно, что если вы разложите 5 кучек по 7 предметов и 7 кучек по 5, то общее количество будет одинаковое. (Очень хорошо, если это будет искренне удивление второклассника)
Тем не менее, этот закон очень глубоко сидит в нашей культуре. Например. Мы говорим "дважды чемпион", имея в виду именно два раза, и точно такой же смысл имеет фраза "стал чемпионом дважды".
В математике такая двойственность возникает с появлением понятия "коэффициент", который всегда ставится перед объектом (скаляр, вектор, матрица, тензор...), и обозначает именно количество раз. В то же время мы говорим об умножении [вектора, матрицы, функции...] на число.
Так вот, если бы этой двойственности не возникало, то и коммутативный закон не работал бы. Именно такой двусторонний подход к умножению порождает возможность умножать 4•5 и 5•4, не ожидая различий в результате.
Можно ли второкласснику пользоваться коммутативностью при умножении?
Безусловно. Не просто можно, но и нужно. Чем раньше ребенок поймёт, что складывать 7 двоек дольше и труднее, чем две семёрки, а результат всё равно будет одинаковый, тем лучше.
Это один из первых приёмов быстрого счёта.
Основную проблему вызывает же не сам процесс умножения, и даже не запись, а применение формального умножения к решению текстовых задач.
Учителю тяжело проверить, правильно ли ребенок понял текст задачи, и правильно ли ученик записал числа. 7 мешков или 7 шаров в мешке? 2 шара в каждом мешке или 2 мешка? Или вообще он воспринимает эти цифры просто как закорючки и выполняет алгоритм с ними связанный, не думая о количествах, разах, шарах и мешках? И приходится требовать, чтобы запись была "правильной". Если учитель начальной школы не формалист, шпарящий по образцам, то довольно быстро он выявит среди "своих" детей тех, кто просто бездумно пишет циферки, а кто осмысленно, и не будет "докапываться" до тех, кто меняет местами разы и предметы для упрощения вычислений.
PS
В статье про то, как учить таблицу умножения, я писал, что нельзя ребенку в процессе изучения таблицы пользоваться коммутативностью. Это только по началу, и как только отпадает необходимость в тренировке навыков сложения, смело можно разрешать (для ускорения счёта).