Понятие о производной введено в курс математики средней школы, притом так было не всегда. Даже в те далекие годы, когда в школе изучали логику и конституцию (сталинскую 1936 г) СССР, производная и интегралы считались понятиями высшей математики (при том, что высшая математика даже не предмет, а набор выжимок из изучаемых на мехматах и физматах предметов, объединенных общей обложкой и преподаваемых инженерам и отчасти техникам). Также, общий курс математики и физики (с элементами высшей математики) преподается студентам 1 курса медицинских вузов.
Согласно Википедии интеграл - одно из важнейших понятий математического анализа, которое возникает при решении задач о нахождении площади под кривой.
Разъясним понятие интеграла на примере приготовления домашнего сухого вина из виноградного сока. Сок - многокомпонентная субстанция, но в основном он представляет собой смесь простых углеводов (глюкозы и фруктозы) в количестве 16-18%, совсем немного прочих веществ, в пределах до 1%.
У глюкозы и фруктозы формула одинакова - C6H12O6, различаются они лишь строением молекулы. В водном растворе глюкоза и фруктоза, с прибавлением особых винных дрожжей, сбраживаются до винного (этилового) спирта.
Разберем тему интеграла досконально, с измерениями и построением графиков, оттого приводим формулу преобразования глюкозы и фруктозы в спирт. Попав в раствор (в виде приобретаемого продукта либо натуральные, с немытого винограда), дрожжи принимаются за свою работу - преобразование глюкозы с фруктозой в этиловый спирт C2H5OH с попутным выделением углекислого газа CO2:
C6H12O6 → 2 C2H5OH + 2 CO2
В вышеприведенной формуле C - это углерод, H - водород, O - кислород. Исходя из атомных масс углерода 12, водорода 1 и кислорода 16, определим молекулярную массу глюкозы (у фруктозы та же самая химическая формула, а тем самым и молекулярная масса) как 180, спирта 46, углекислого газа 44.
Нам понадобятся следующие количественные соотношения:
По формуле, из 180 г глюкозы образуются 92 г спирта и 88 г углекислого газа. Проверяем: 180 = 92 + 88.
Хорошие винные дрожжи работают при концентрации сахаров до 25% по массе. Воспользуемся бытовым виномером-сахаромером, представляющим из себя ареометр с двойной шкалой- сахара от 25% до 0% и этилового спирта от 0% до 12%.
Плотность виноградного сока, полученного выжиманием сока посредством шнековой соковыжималки из винограда киш-миш без косточек, несколько меньше требуемых 25%, и сок доведен до концентрации 0,25 сахаром, представляющим собой смесь глюкозы и фруктозы.
Из 250 г глюкозы получаем спирта 92*250/180 = 129 г, углекислого газа выделится 88*250/180 = 122 г. В 1 кг водного раствора глюкозы концентрации 25% содержится 250 г глюкозы и 750 г воды, после выделения углекислого газа масса вина составит 1000 - 122 = 878 г.
Итого, содержание спирта в вине общим количеством 878 г с содержанием спирта 129 г равно 100%*129/878 = 14,7% по массе, или (по соответствующим таблицам) 18,1% (градусов) по объему.
Обычные дрожжи не позволяют добиться такой крепости напитка, хотя особые дрожжи для приготовления саке для этого пригодны.
Добавим в подслащенный виноградный сок общим количеством 3 литра 15 г винных дрожжей, закроем банку крышкой с водяным затвором, заполнив колено затвора водой строго по отметке, поместим банку при комнатной температуре в темное место и начнем регулярно (дважды в сутки) отмечать интенсивность спиртообразования (по количеству выделившихся за 1 минуту пузырьков углекислого газа - далее "булей".
Также, с подобной же регулярностью фиксируем виномером-сахаромером спиртовую крепость напитка (в объемных процентах, или градусах), вплоть до полного прекращения брожения.
Данные в виде графика ниже.
Как упомянуто выше - интеграл - это площадь под кривой, в наглядном геометрическом представлении. Интенсивность образования углекислого газа (а тем самым и образования этилового спирта) мы определяли по количеству булей в минуту.
Начинаем подсчитывать площадь под синей кривой от отметки времени 0 до каждой из отметки времени, вплоть до последней в 108 часов. Существует много математических способов подсчета площади фигуры, ограниченной не прямыми линиями, а плавными кривыми, мы же воспользуемся формулой Симпсона, интересующиеся найдут описание метода самостоятельно, возможно и мы посвятим ему отдельную статью.
Число булей под кривой оказывается равным 187.920.
Площадь будет выражаться в булях, а поскольку мы не знаем, сколько в одном буле углекислого газа, по соображениям, которые изложим ниже, подберем к количеству булей переводной коэффициент, наилучшим образом приближающий сумму булей к крепости вина.
Мы воспользовались тем, что согласно таблицам, зависимость между крепостью спиртового раствора и содержанием спирта по массе в пределах диапазона крепости 0-16 градусов линейное с высокой точностью.
Переводной коэффициент оказался равным 1:12.340.
Зеленая линия - общее число булей с переводным коэффициентом, т.е. площадь под синей кривой к данному времени. Поскольку число булей пропорционально количеству выделившегося углекислого газа, а количество газа пропорционально количеству образовавшегося спирта, зеленая линия должна совпасть с красной.
Читателю судить, насколько хорошо совпадение.
Причин расхождения достаточно:
- виноградный сок - не чистый раствор глюкозы, в нем есть некоторое количество жиров, белков, кислот и пищевых волокон, мы добавили несколько сахара для доведения плотности до стандартной;
- при брожении, помимо этилового спирта, образуется также и некоторое количество сторонних веществ, в основном из белков (высшие спирты, молочная кислота, прочие кислоты);
- некоторое количество глюкозы остается в вине и не сбраживается;
- часть спирта, как более легкого, чем вода, соединения, уносится с углекислым газом, и пр.
Общий же ход площади под кривой числа булей повторяет кривую крепости напитка. Или, говоря проще: крепость вина - интеграл функции интенсивности выделения пузырьков углекислого газа.
Еще проще пояснить, что такое производная. Производная - скорость изменения функции в данной точке. На практике понятие объясняется на примере автомобиля. Если преодоленное расстояние - это функция, то производная - это скорость, т.е. то значение, на сколько изменяется расстояние за единицу времени, притом как можно более мелкую. Если путь измеряется счетчиком расстояния (что позволяет вовремя производить техническое обслуживание), то скорость отображается на спидометре (что позволяет избежать штрафов за пресловутые +20 км/час).
От скорости тоже можно взять производную, это будет уже ускорение. Индикатора ускорения на автомобиле нет, но если ускорение по определению скорость изменения скорости, то об ускорении можно судить по скорости движения стрелки спидометра. Если стрелка движется в сторону бóльших значений, ускорение положительное, если меньших - отрицательное. При положительном ускорении его ощущает ваша спина, вдавливаясь в спинку сиденья, при отрицательном - плечо, в которое врезается ремень безопасности.
Возвращаясь же к виноделию, можно сказать, что частота булей - производная от крепости напитка.
Вот как-то так - можно всю жизнь разговаривать прозой, не зная того.
И в заключение интересный оценочный расчет. Мы подсчитали число булей - 187.920, углекислого газа выделилось порядка 122*3 = 366 г = 0,366 кг (приготовлено 3 литра напитка). Плотность углекислого газа при нормальных условиях 1,98 кг/куб.м, объем углекислого газа 0,366/1,98 = 0,185 куб.м = 185.000 куб.см. При числе булей 187.920 (удивительное сопадение!) объем 1 буля при использованном гидрозатворе порядка 1 куб.см.