Основное свойство биссектрисы угла треугольника

Биссектриса внутреннего угла

Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону в отношении длин прилежащих сторон.

Этот геометрический факт обязательно знать тем, кто собирается сдавать ОГЭ или ЕГЭ!

Рис.1. Биссектриса внутреннего угла треугольника

Обозначения на рис. 1.

b, c — стороны, прилежащие биссектрисе (оранжевый отрезок),
т.е. b, c и биссектриса выходят из одной вершины исходного треугольника (закрашен серым цветом);

b' (зеленый цвет), c' (синий цвет) — отрезки, на которые биссектриса разбивает противоположную сторону;

△1 и △2 — два треугольника, на которые биссектриса разбивает исходный треугольник;

S₁ и S₂ — площади △1 и △2.

Указания к доказательству

1) S₁ : S₂ = b' : c'. Почему?

2) Высоты △1 и △2, проведенные к сторонам b и c соответственно, равны. Почему?

Значит, S₁ : S₂ = b : c.
∎

Биссектриса внешнего угла

Биссектриса внешнего угла треугольника делит противолежащую сторону внешним образом в отношении длин прилежащих сторон.

А этот геометрический факт встречается в экзаменационных задачах реже. Однако в олимпиадных задачах он появляется частенько ...

Впрочем основное свойство биссектрисы для обоих случаев (т.е. для внутреннего и внешнего углов) и формулируется и доказывается идентично, слово в слово!

Рис. 2. Биссектриса внешнего угла треугольника

Обозначения на рис. 2.

△1 — исходный треугольник закрашен серым цветом;

b, c — стороны, прилежащие биссектрисе (оранжевый отрезок),
т.е. b, c и биссектриса выходят из одной вершины исходного треугольника;

b' (зеленый цвет), c' (синий цвет) — отрезки, на которые биссектриса разбивает внешним образом противоположную сторону △1;

△1, △2 и △12 — три треугольника, которые присутствуют на чертеже,
△12 является объединением △1 и △2 (△1 не используется в дальнейшем);

S₁₂ и S₂ — площади △12 и △2.

Указания к доказательству

1) S₁₂ : S₂ = b' : c'. Почему?

2) Высоты △12 и △2, проведенные к сторонам b и c соответственно, равны. Почему?

Значит, S₁₂ : S₂ = b : c.
∎

Примечание 1. Более подробно о внешнем делении отрезка см. статью.

Примечание 2. Проведем через две вершины треугольника прямые, параллельные биссектрисе, см. рис. 3 и рис. 4. Эти прямые обозначены на рисунках пунктиром.

Рис. 3.

Рис. 4.

Обратите внимание на то, что зеленый и синий отрезки являются проекциями боковых сторон на основание (или его продолжение) исходного серого треугольника. Кстати, такие проекции называются косоугольными (прямоугольные проекции изучаются в программе средней школы).

Примечание 3. Отметим, что случай внешнего угла треугольника является обобщением «обычного» расположения биссектрисы. Т.е. по сути, это одно утверждение!