ABCD — квадрат, со стороной равной 1.
Точка О — центр описанной около ABCD окружности, на которой (на меньшей дуге CD) расположена точка К.
Точки P и Q — пересечение хорд BK и AK с диагоналями ABCD, см. рисунок.
Найдите площадь четырехугольника ABPQ.
Указания к доказательству (добавлено 27.10.2020)
1) △ABК, △AQB и △PBA подобны. Почему?
2) Из подобия △AQB и △PBA следует, что AB² = AP ∙ BQ, т.е. площадь четырехугольника ABPQ в два раза меньше площади квадрата ABCD.
∎
Примечание. Выскажу свое мнение по поводу идеи решения с перемещением точки К вдоль дуги CD (этот трюк используется в двух комментариях).
Идея оригинальная и эффективная ... но только при экзамене-тестировании на ответ, поскольку обоснование держится на неаргументированном утверждении, что площади всех возможных четырехугольников ABPQ равны, т.е. на профильном ОГЭ или ЕГЭ решение не будет зачтено!
Если вы готовитесь к профильному ОГЭ/ЕГЭ, ДВИ или перечневым олимпиадам, то очень серьезно относитесь к обоснованиям тех утверждений, которые используются в решении/доказательстве. Допустимо задействовать лишь известные геометрические факты такие, как теоремы Фалеса, Пифагора, Менелая, Чевы и т.п. Но не «придумывать» свои утверждения.