Рассмотрим треугольник общего вида △ABC, инцентр которого обозначен через I.
На стороне AC отмечена точка Q, на продолжении стороны АВ отмечена точки P, см. рисунок.
Докажите, что точки A, P, I и Q лежат на одной окружности тогда и только тогда, когда BC = CQ − BP.
Примечание. Задача с другим случаем расположения точки Р опубликована ранее.
Данное утверждение и утверждение из упомянутой статьи можно обобщить:
Рассмотрим треугольник общего вида △ABC, инцентр которого обозначен через I. На лучах AB и AC отмечены точки P и Q соответственно.
Докажите, что точки A, P, I и Q лежат на одной окружности тогда и только тогда, когда BC = BP + CQ, где длина отрезка BP (CQ) берется со знаком минус, если точка Р (Q) расположена вне △ABC.
Указания к доказательству
Предлагаю воспользоваться несложным в обосновании утверждении
Окружность с центром в инцентре треугольника.