Задача 16 ЕГЭ (327 вар. Ларина)
Дан равнобедренный треугольник со сторонами 8, 8 и 6. На боковых сторонах этого треугольника отмечены точки. Известны длины отрезков, на которые разбиваются боковые стороны отмеченными точками, см. рисунок.
а) Найдите отношение x : y, где x и y — длины частей оранжевого отрезка.
б) Найдите площадь серого четырехугольника.
https://alexlarin.net/ege/2021/trvar327.html
(Формулировка задачи незначительно изменена.)
Указания к решению
а) x : y = 8 : 3 (по теореме Менелая).
б) Площадь исходного треугольника равна 3√55 (по формуле Герона).
S₃₄ : S₁₂₃₄ = 1 : 8, S₄ : S₃₄ = 3 : 11 => S₄ : S₁₂₃₄ = 3 : 88.
S₂₃ : S₁₂₃₄ = 1 : 4 => S₁ : S₁₂₃₄ = 63 : 88.
S₁ = 189 √55/ 88.
Примерно такое решение мне прислала одна из моих лучших учениц, сопроводив текст недоумением, что здесь арифметики больше, чем геометрии! Нельзя не согласиться!
Обычно на первых занятиях мы повторяем учебный материал, изложенный в статье Базовые приемы решения задач с площадями треугольников.
Для решения п.б) данной задачи требуется лишь аккуратное выписывание пропорций для соответствующих фигур. А чтобы «увидеть» те самые соответствующие фигуры нужна тренировка, посильная здравомыслящим старшеклассникам, т.е. не ботаникам.
Уверен, что такие профильные задачи могут решать учащиеся из непрофильных математических классов.