Задача 25 ОГЭ (услож. 245 вар. Ларина)
Дан равнобедренный △ABC, в котором ∠А = ∠С = 50°.
Внутри △ABC взята точка P так, что ∠PАС = 30° и ∠PCА = 10°.
Докажите, что ∠ВPC = 70°.
(Чаще встречается задание «Найдите величину ∠ВPC».)
https://alexlarin.net/gia/trvar245_1_oge.html
Примечание. Мимо этой задачи нельзя пройти при подготовке к ОГЭ или ЕГЭ — это классика, которую надо знать. Но! Рекомендуется познакомиться (желательно знать) с тремя решениями, которые чуть позднее будут размещены в этой статье.
Вполне возможно читатели моего канала Дзен найдут и четвертое, и пятое обоснования. С их разрешения будем публиковать разбор данной задачи.
Еще на заре своего репетиторства я уяснил, что полезнее для учеников разобрать решение (или доказательство) одной задачи несколькими способами, чем решить несколько задач. Призываю и вас искать другие решения, если ставите перед собой цель изучение математики.
Указания к решению 1 (решение Елены Николаевой)
Считаю, это решение самым убедительным, поскольку последовательность шагов решения кажется само собой разумеющимся, но требуется аккуратность при обосновании (впрочем она всегда нужна в геометрии). Итак,
1) отметим точку О — пересечение биссектрисы BO и продолжения АР, следовательно, СО — биссектриса ∠ВСP;
2) △РОC и △BОC равны (∠РОC = ∠BОC = 120°),
тогда РО = ВО и △BОР равнобедренный;
3) из точки О стороны △ABC видны под углами, равными 120°
(эта замечательная точка треугольника называется точкой Ферма-Торричелли в △ABC, обязательно напишем статью про свойства этой точки!). Далее всё очевидно.
∎
Можно предложить другую последовательность шагов решения на том же чертеже, но все «дороги» ведут к точке Ферма-Торричелли в △ABC.
Указания к решению 2 (решение Людмилы М.)
Данное решение, на мой взгляд, самое красивое. Посуди сами:
1) на стороне АВ строим равносторонний треугольник △ABQ,
т.е. AB = BC = AQ = QB;
2) докажите, что APCQ — параллелограмм.
Следовательно, BC = CP. Вот и всё решение!
Заметьте, что когда вы обмозговываете решение, можно обойтись лишь построением двух отрезков AQ и QB. и остается ... «увидеть» параллелограмм.
∎
Несомненно, на экзамене придется дотошно расписывать, почему мы считаем APCQ параллелограммом (или доказывать равенство △AСQ и △AСР) и т.п.
Но это уже совсем другая история ...
Указания к решению 3
Здесь будет опубликовано решение с использованием теоремы синусов (хотя я и не недолюбливаю элементы алгебры в геометрии, но надо привести такое решение).
Указания к решению 4
Построим описанную окружность около △ABC. Продолжим отрезки AP и CP до пересечения с этой окружностью. Точки пересечения и вершины △ABC являются пятью вершинами правильного 18-тиугольника. Применим результаты задачи Три диагонали в правильном 18-тиугольнике.
∎