Слышали о пифагорейцах? Очень веселые ребята, приписывали числам сверхъестественные свойства. Забавно, учитывая, что числа есть порождение человеческого ума. Но книги по нумерологии можно и сегодня купить. Что-то мне подсказывает, что их тиражи довольно объемные.
В общем-то, это не удивительно, всё-таки есть в этой науке нечто не поддающееся счету. Даже не так, математика признаёт, что есть нечто в этом мире, что она не в силах просчитать.
Простейший пример. Пробовали когда-нибудь нарисовать окружность и квадрат на местности или на листе бумаги без клеточек? Что проще сделать? Как говорится, дайте мне нить и я начерчу идеальную окружность где угодно. А вот с квадратом всё намного сложнее. Параллельность и прямые углы требуют специальных инструментов. Иначе получится недоквадрат. Всё переворачивается, когда мы задумываемся о численной характеристике этих фигур. То есть о площади. Если мы знаем линейную характеристику - длину стороны, то можем точно вычислить площадь квадрата. А для круга, даже если мы знаем чему равен радиус, мы можем посчитать площадь лишь приблизительно. Да, сейчас уже с любой заранее заданной точностью, но так было не всегда.
История началась с Архимеда, который первым задался вопросом, как найти площадь круга, и описал метод основанный на вписанных и описанных в окружность многоугольниках. Понятно, что площадь круга меньше площадь любого описанного многоугольника и больше площади вписанного. Дальше нужно увеличивать количество углов, чтобы получать более точные значения. Архимед досчитал до 96-угольника и получил, что площадь круга с радиусом 1 лежит между числами 3,1408... и 3,1428... . Дальнейшую работу проделывали его последователи. В Китае в III веке смогли досчитать до 3072-угольника и получить значение 3,14159. И лишь в XV веке это значение удалось уточнить до шестнадцатого знака после запятой. Затем, пользуясь тем же методом, Лудольф ван Цейлен смог получить 35 десятичный знак.
Новый метод для вычисления площади круга был изобретен в XVII веке голландским учёным Виллебрордом Снеллем, а теоретически обоснован еще одним голландцем Христианом Гюйгенсом. Они улучшили метод, используя приближение круговых секторов, которые лежат между границей круга и вписанным многоугольником. Его приближали с помощью параболического сегмента, имеющего ту же высоту и основание, что и круговой сегмент.
Используя этот метод можно уже для 48-угольника получить шесть верных цифр после запятой, что, при использовании метода Архимеда, было возможно только для 3072-угольника. Дальнейшая история по вычислению площади круга и уточнению знаков числа π связана уже с математическим анализом, теорией пределов и бесконечно малыми. И да, можно получить площадь круга любой точности, потому что можно получить число π с любой точностью. Но истинное значение вычислить невозможно из-за бесконечного количества знаков после запятой.
А вот теперь чисто практический вопрос. Коммунальные платежи начисляются в зависимости от площади помещения. Если мы живем в прямоугольном доме, то всё в порядке. Главное, не делать длину стен иррациональной, что в принципе не видится мне возможным. Но если дом круглый? Как рассчитывать площадь для жителей юрт? Ведь какую бы точность мы не взяли, её всегда можно увеличить, а следовательно увеличится площадь и сумма платежа. В рамках одного месяца или года эта сумма может быть не значительна, но в перспективе?