Теперь давайте пройдёмся по тому самому интервью, которое стало поводом для критической статьи Жени Кац. И заодно обсудим, почему в начальной школе при изучение действия умножения важен порядок множителей.
*********
Фотография, выложенная в социальных сетях, взорвала Интернет. Оказывается, теперь в младшей школе за перестановку местами двух множителей, что правилами математики разрешено, вместо пятерки ставят тройку! Более того, перестановка местами двух чисел - это ошибка, о чем прямо написано в методичке для учителей!
- Дурь! - возмутились пользователи Сети и закидали автора учебника, профессора кафедры дошкольного и начального образования Мурманского государственного гуманитарного университета, автора почти сотни учебников Анну Белошистую, гневными письмами.
[Как в анекдоте: “Мой лечащий врач — дурак! Я ему говорю, что у меня болит голова, а он знаете куда мне уколы прописал??” Массовый воинствующий дилетантизм в действии.]
Я дозвонился автору учебника.
- Я не хочу отвечать на эти обвинения безграмотных людей! - попыталась отшить меня профессор Белошистая. - Я - автор учебников № 1 в России, а кто-то из них решил, что они лучше меня знают, как учить математике! А эта с... под разными именами пишет везде в Интернете...
Но потом профессор все-таки сменила гнев на милость и объяснила мне, что не так.
- Для каждого, кто хоть немного понимает в математике, очевидно, что при решении этой задачи правильно записывать именно 2 х 9, - сказала Белошистая.
[Фраза “для каждого, кто хоть немного понимает в математике” не совсем верная. Точнее было бы сказать так: “для каждого, кто хоть немного понимает в методике преподавания математики...”]
- В начальной школе ученики многого не знают, поэтому для них действуют свои правила. Например, они никогда не раскрывают скобки, а сначала выполняют действие внутри них, они не переносят слагаемые через знак «равно». Тут та же история. Писать надо именно так, потому что эта запись читается как «по два взять девять раз». Позже они научатся переставлять множители, но пока должны делать именно так, чтобы лучше понять суть умножения.
[Всё коротко и доступно объяснено. Можно было бы ещё уточнить, что в этой конкретной задаче имеется в виду “по два ЛИТРА взять девять раз”.]
Объяснение вроде бы логичное.
[Не просто логичное, а единственно правильное.]
Хотя почему ребенок не может поступить иначе и «взять девять раз по два»? В чем здесь ошибка?
[Раз журналист задал вопрос, давайте разберёмся, почему методист права.
Вспомним, откуда маленький ребёнок узнаёт про умножение.
Сначала он учится складывать. Сложение — это для детей вполне конкретное физическое действие. Было несколько палочек и рядом положили ещё несколько палочек. Палочек стало больше. Пересчитали. Теперь их новое определённое количество.
А когда сложение будет освоено, может появиться вот такая задача. Взять из кучки три кубика, потом ещё три кубика, потом ещё три, ещё три, ещё три, и, наконец, ещё три. Сколько всего мы взяли кубиков? Каждый раз мы брали именно по три кубика. Это ребенок понимает хорошо и, самое главное, в первую очередь. Он может сбиться, сколько раз опускал руку в ящичек, но по сколько кубиков брал каждый раз, он твёрдо знает. Ведь ребёнок внимательно пересчитывает кубики, когда берёт новую кучку-тройку. Он в первую очередь сконцентрирован на том, чтобы взять правильное количество. Да и вы, читая текст задания, наверняка были сконцентрированы на том, ПО СКОЛЬКО кубиков брал ученик, и поэтому легко это запомнили. Но чтобы точно посчитать количество раз, вам скорее всего придётся перечитать текст задания заново.
Так вот когда ученик берёт каждую следующую порцию, он записывает в тетрадь очередное действие сложения. Получается вот такая запись: 3+3+3+3+3+3. Из этой записи он может увидеть, если ранее не запомнил, что брал кубики ровно 6 раз. По три кубика взял шесть раз.
На первых порах вообще не говорят про умножение. Фразы вроде “мы взяли по три кубика шесть раз” или “мы взяли по две тетради три раза” проще, понятнее и естественнее для маленького ребёнка.
Потом внезапно оказывается, что нашу громоздкую сумму 3+3+3+3+3+3 можно заменить на короткую запись 3×6. А если точнее, то на такую запись: 3к.×6.
Запись 6×3к. неестественна для маленького ребёнка, который только обучается умножению, т.к. она не вырастает органично из его опыта работы с реальными предметами. Получается, что нужно взять по 6 раз 3 кубика?
Поэтому-то в начальной школе различаются понятия “множитель” и “множимое”. Чтобы отделить то, что мы брали, от того, сколько раз мы это сделали. И лишь потом они перерастают в понятие “сомножители”, когда ученики дорастут до перестановки множителей.
Взрослый может, конечно, сказать, что неважно 3×6 или 6×3, так как обладает соответствующим опытом и знает о коммутативности умножения. Но ребенок, видя такое не испытанное на личном опыте произвольное отношение записям и в целом к перестановкам чисел, может потом легко путать 25:5 и 5:25, с чем я часто сталкиваюсь, когда закрываю пробелы с начальной школы. Ибо “я забыл, что можно переставлять только умножение, а деление нельзя”.]
И какая доблесть в методике - сначала приучать детей к правилу, которого в математике просто не существует, а потом, уже в классах постарше, объяснять - забудьте все, чему вас учили в начальной школе?
[А зачем детям постарше говорят, что если дискриминант отрицательный, то корней нет? Ведь, по правде говоря, это не так. Это тоже получается приучение к правилу, которого нет?
Или более актуальный пример: в начальной школе детям говорят, что из 4 нельзя вычесть 7. Что из меньшего числа нельзя вычесть большее. Но потом внезапно появляются отрицательные числа и оказывается, что можно.
Любой новый опыт вырастает из предыдущего. Поэтому забывать то, чему учили раньше, и не надо. Просто мышление ученика постепенно обогащается новыми фактами и понятиями. И на разных уровнях следует давать разный не всегда математически полный материал, так как нужно учитываю временную ограниченность знаний ученика. Такое недоговаривание методически оправдано и не путает детей.]
Неужели наши дети настолько примитивны, что могут понять суть умножения только одним-единственным способом?
[Взрослые обычно не мыслят как дети, и поэтому всё меряют по себе. Они думают, что математика в началке довольно проста и можно сразу учить “нормально” и “настоящей математике”. Особенно этим страдают родители с техническим и, самое страшное, с математическим образованием. Они обычно не признают, что есть определённые правила преподавания, которые могут быть неясными тем, кто профессионально не работал с маленькими детьми.
Можете провести вот такой опыт. Найдите, например, в МГУ иноязычного студента, слабо говорящего по-русски, и попробуйте научить его русскому языку. Без нормальной методики непрофессиональному педагогу это невероятно тяжело. А филологам и лингвистам это вообще противопоказано делать. Они слишком хорошо знают язык и бывает вообще не подозревают о таком предмете как “Русский язык для иностранцев”, который также, как и арифметика, имеет свою логику преподавания. И она нам, как носителям языка, может показаться весьма странной. Я уже не говорю про то, что различным группам иностранцев русский язык тоже нужно преподавать по-своему, так как они живут в логике своих языков, которая может сильно отличаться.]
Я против того, что за отступление от стандартного хода решения снижаются оценки. Если человек хочет пойти своим путем, за что же его наказывать?! Важно не расположение чисел, а понимает ли ребенок решение.
[Так в том-то и проблема, что если ребёнок несвоевременно произвольно переставляет числа, то скорее всего это значит, что не понимает сути умножения как многократного сложения, которое важно именно в начальной школе. Значит чуть ранее был пропущен этап вытаскивания кубиков из ящичка или палочек из кучки. Или же ребёнок на дополнительных курсах уже всё это узнал, и проработал, возможно, вплоть до переместительного закона и раскрытия скобок. Что с этим делать и насколько это критично, уже дальше решают методист или школьный преподаватель. В принципе, даже пропустив этап вытаскивания кубиков, можно нормально жить и учиться, однако надо понимать, что если так делать всё время, игнорируя работу с реальными предметами, то к старшим классам у ученика может сформироваться отношение к математике как к некой магии. Когда есть просто какие придуманные взрослыми правила, вроде той же коммутативности, и формулы для заучивания, которые не вырастают органично с самых основ, с простейших физических действий. Это приведёт либо к схоластическому пониманию школьной математики, если ученик успешно выучивает все математические заклинания. Либо к неприятию её как оторванной от реальности, если в какой-то момент он перестал зубрить и остался в вакууме незнания.]
Почему в математике - самой абстрактной из всех наук - теперь учат по армейскому принципу «пусть безобразно, зато единообразно»?
[Ох... Армейский принцип, тоталитарная арифметика, прокрустово ложе стандартов... Есть группа современных реформаторов образования, которые рассуждают так же. А журналист называет безобразным то, чего не понимает. Кстати, если что-то органично и эффективно, то почему это не может быть единообразным?]
Хотя, может быть, у нынешних школьников мозги как-то по-другому устроены, что им никакой свободы давать нельзя, спросил я у доктора психологических наук, завкафедры педагогической психологии Московского городского психолого-педагогического университета Виктора Гуружапова.
- Это известная заморочка методики преподавания математики в начальных классах, я сам с ней столкнулся еще в 1956 году, когда был школьником, - объяснил профессор. - И с тех пор она ходит из учебника в учебник. На самом деле за этой традицией нет ни математического, ни смыслового обоснования. [Короткое обоснование я сделал выше. Более подробную информацию можно легко найти или в методичках для учителей, или на специальных семинарах для преподавателей начальной школы. Скорее всего, в этом учебном году сделаю подборку таких книг. А профессору лучше смотреть не в методички, а посидеть хотя бы месяц-другой на уроках математики в первом классе у грамотного преподавателя. Возможно, он увидит, что дело далеко не в традиции, а в методической целесообразности] Но кто-то когда-то решил, что писать надо именно так. И нынешние авторы тиражируют этот трафарет, просто не задумываясь: а зачем? Действительно, в восемь-девять лет ребята еще не знают переместительного закона (a х b = b х a), но многие его сами интуитивно чувствуют.
[А интуиция откуда возникает? Сама по себе? Или благодаря последовательному решению определённых задач?]
Да и дети теперь другие - они более развитые, зачем им в головы вбивать логику шестидесятилетней давности? [“Устаревшая логика”, “сейчас более развитые дети”, “надо приучать детей творчески решать задачи, а не по шаблону”. Как-то подозрительно часто слышим эти песни в медийном пространстве...]
По мнению Гуружапова, если учительница слишком строго следует методичке, она может разрушить интуитивное понимание математики. [Если учительница следует правильной методичке, то всё наоборот. Она как раз воспитывает у ребёнка интуитивное понимание математики, выращенное из опыта работы с конкретными предметами.] Больше всего от таких формальных требований, за неисполнение которых следует еще и серьезное наказание, страдают дисциплинированные ученики. Им навсегда вбиваются в голову трафареты, и потом научить таких ребят творчеству, раскрепощенности очень сложно.
НАВЕЯЛО...
Бросим барометр с крыши
Однажды к знаменитому физику Эрнеcту Резерфорду обратился за помощью коллега. Он собирался поставить низкую оценку за экзамен студенту, а тот утверждал, что заслуживает высшего балла. Нужен был арбитр. Вопрос был такой: «Как измерить высоту здания с помощью барометра?»
Студент ответил: «Подняться с барометром на крышу здания, спустить барометр вниз на длинной веревке, а затем втянуть его обратно и измерить длину веревки».
Ответ был верным! Но экзамен-то был по физике. Резерфорд предложил студенту дать другой ответ. Тот заявил, что у него есть еще несколько решений. Например, подняться с барометром на крышу и бросить его вниз, замерив время падения. Затем вычислить высоту здания. Или выйти на улицу в солнечный день и измерить высоту барометра и его тени, а затем измерить длину тени здания. Решив пропорцию, определить высоту здания.
- Есть и другие способы? - спросил Резерфорд.
- Вы поднимаетесь по лестнице, прикладывая барометр к стене и делая отметки. Сосчитав количество отметок и умножив его на размер барометра, вы получите высоту здания. А можно просто найти управляющего и сказать ему: «У меня есть барометр. Он ваш, если вы скажете мне высоту этого здания».
Резерфорд поинтересовался у студента, неужели он не знал общепринятого решения этой задачи. Тот признался: знал, но он сыт по горло школой, где учителя навязывают стандартный способ мышления.
Этим студентом был Нильс Бор, впоследствии нобелевский лауреат...
[Очередная история из разряда “этим студентом был Альберт Эйнштейн”.
Такой троллинг в стиле Бора может работать тогда, когда очень твёрдо усвоены эти самые стандартные знания. Действительно барометром можно померить давление на разной высоте и тем самым вычислить высоту башни. Но если бы студент не знал такого ответа на вопрос, то это показывало бы не его креативность, а просто глупость. Разве предложить по-разному микроскопом забивать гвозди — это творчески решить задачу? Сравните предложенные варианты. Стандартный способ здесь банально самый простой, дешёвый и эффективный.]
А В ЭТО ВРЕМЯ
Дети, поучившись в школе, перестают творить
Сотрудники Красноярского педуниверситета выяснили: дети от детсадовского возраста и до 4-го класса обычно на уроках готовы творить, что-то придумывать необычное. Но к средней школе способности эти (или желание их проявлять в школе?) падают. Если ребенок и продолжает творить, создавать что-то нестандартное, то, как правило, делает он это за пределами школы - во дворце творчества, на занятиях в какой-то секции.
Простой пример: исследователи предложили ученикам 4-х, 8-х и 10-х классов собрать пазл. Но при этом не показали им картинку, которая должна получиться. Младшеклассники справились с заданием, совершив в пять раз меньше действий и в четыре раза обогнав по времени более старших ребят.
В итоге ученые пришли к таким выводам: дети любого возраста готовы «креативить», им это нравится. А вот система образования, постоянные тестирования, натаскивание на ЕГЭ направлены не на развитие способностей детей, а на утилитарное потребление готовых знаний.
[Ну и конечно надо пнуть ещё и систему школьного образования, которая пока пытается дать ученикам знания. Якобы школьники теряют креативность. Хотя исследование показало лишь то, что у четвероклассников ещё свежи навыки сбора пазлов. И что десятиклассники не сильно впрягаются, когда им дают задания не по их возрасту.]