Найдите вспомогательную окружность

Задача 25 ОГЭ (услож. 254 вар. Ларина)

Вписанная в △ABC окружность касается сторон AB и BC в точках P и Q.

Пусть точка К — пересечение прямой PQ и прямой, содержащей биссектрису ∠BAC.

Докажите, что ∠AKC = 90°.

https://alexlarin.net/gia/trvar255_1_oge.html

Указания к решению (добавлено 22.10.2020)

Придется рассматривать два случая ...

Рис. 1. Точка К расположена на отрезке PQ

Рис. 2. Точка К расположена на продолжении отрезка PQ

Обозначим углы △ABC через ∠A = 2a, ∠B = 2b и ∠C = 2c (чтобы половинки не писать, часто так удобнее).
Понятно, что a + b + c = 90°
или a + c = 90° − b
или a + b + c + 90° = 180°.

Предлагаю такое решение: в обоих случаях строится вспомогательная окружность, диаметром которой является CI, где I — инцентр △ABC. Очевидно, что ∠CIK = a + c. Остается найти ∠CQK (разберитесь самостоятельно).

Тогда пять (!) точек C, Т, I, Q, K лежат на одной окружности (на той самой вспомогательной).

Ну, а то, что угол, который опирается на диаметр оказывается прямым, наверное, можно и не писать.
∎

Примечание. Рекомендую понять решение без построения вспомогательной окружности. Часто вспомогательные окружности не изображаются на чертеже.
Во-первых, зачем захламлять чертеж.
Во-вторых, углы, ради которых такая окружность используется, можно вычислить и без изображения самой окружности.
В-третьих, углы опираются в большинстве случаев не на дуги, а на хорды, т.е. отрезки, уже имеющиеся на чертеже.

Полагаю, что читатели канала обратили внимание на интереснейшие комментарии подписчика с ником Lev Emelyanov. К этой задаче Лев указал на Лемму о прямом угле (добавлю на хорде вписанной окружности). Этот красивый геометрический факт обязательно будет опубликован в ближайшее время.