Разберем-ка мы, друзья, глубоко и вдумчиво простую задачку: два поезда на расстоянии v от моста по обе стороны едут навстречу друг другу с равными скоростями v, и через одну единицу времени сталкиваются на мосту, на котором стоит Наблюдатель. Скорость света принята за единицу.
Вопрос в том, как это выглядит с точки зрения машиниста одного из поездов? Он видит движущийся на него со скоростью v мост на расстоянии v; и другой поезд на расстоянии 2v, но скорость его не 2v, а меньше, по релятивистской формуле сложения скоростей.
Получается, что сначала подъедет мост, а потом только второй поезд, и столкновение произойдет не там, где его видит наблюдатель. Можно даже назвать это парадоксом.
Ну, во-первых, из-за лоренцева сокращения длин мост и другой поезд находятся несколько ближе, но это на вопрос не отвечает, так как множитель один и тот же.
Давайте не будем жонглировать готовыми формулами. Это надо уметь делать, а для неподготовленного человека это выглядит как подгонка под результат. Кто так думает, не думайте так больше. Исключительно для вашего удобства я и другие авторы излагаем материал упрощенно и линейно.
Рассмотрим двумерное пространство-время. Ось x вправо, ось t вверх. Отличие от обычной плоскости в том, как считаются расстояния, об этом уже много раз говорили: квадрат "интервала" это t²-x². Не плюс, как на евклидовой плоскости, а минус.
При этом линии равноудаленных от нуля точек — не окружности, а гиперболы. А поворотам соответствуют гиперболические повороты с матрицей
Подробнее о гиперболических фукциях и их свойствах смотрите здесь.
Обычный поворот описывается такой же матрицей, но синусы и косинусы обычные, а не гиперболические. В качестве угла поворота s берем площадь серой области на рисунке.
Итак. Замена координат, для нас это то же, что и система отсчета, это гиперболический поворот и сдвиг начала отсчета. Причем сдвиг — это другое положение нуля координат, а поворот — движение системы координат относительно другой.
Кстати, наш "угол" s не имеет особого физического смысла, а вот его гиперболический тангенс th(s) — это скорость v, синус sh(s) — пространственная протяженность x, косинус ch(s) — время t.
Давайте выпишем основные связи между функциями, которые нам могут понадобиться:
ch²(s)-sh²(s)=1;
th(s)∙ch(s)=sh(s);
1-th²(s)=1/ch²(s);
v=th(s).
Вектор (t,x) в системе одного наблюдателя выглядит в системе отсчета другого, движущегося так: надо умножить матрицу поворота на этот вектор. Сделайте это и замените синус и косинус по формулам на тангенс, а его — на скорость v. Получатся преобразования Лоренца. А формула сложения скоростей — это и есть формула гиперболического тангенса суммы аргументов. Поворот плюс поворот есть поворот, но не на сумму углов, а на немного другой угол.
Вектор умножаем справа и пишем в виде столбца, результат тоже столбец (но мы его для простоты пишем в строчку):
(t,x) → (t∙ch(s)-x∙sh(s), t∙sh(s)+x∙ch(s)).
Теперь смотрим на рисунок. Это точка зрения наблюдателя на мосту. Вектор v1 — это пространственно-временной путь одного поезда, v3 — другого, v2 — наблюдателя, v4 и v5 — смещения начального положения поездов относительно наблюдателя.
В системе отсчета наблюдателя эти векторы имеют координаты: v1=(1,v); v3=(1,-v); v2=(1,0); v4=(0,-v) и v5=(0,v).
Поезд движется со скоростью v, которой соотвествует некоторый угол s. Перейдем в систему поезда, выполнив поворот на угол s. Помним, что v=th(s). Получим:
v1=(ch(s)-v∙sh(s), sh(s)+v∙ch(s));
v3=(ch(s)+v∙sh(s), sh(s)-v∙ch(s));
v2=(ch(s), sh(s));
v4=v∙(sh(s), -ch(s));
v5=v∙(-sh(s), ch(s)).
Упростим:
v1=(ch(s)-v∙sh(s), 2sh(s));
v3=(ch(s)+v∙sh(s), 0);
v2=(ch(s), sh(s));
v4=(v∙sh(s), -sh(s));
v5=(-v∙sh(s), sh(s)).
Пространственно-временные координаты точки встречи (которую зарегистрировал наблюдатель на мосту) в этой системе получаются для каждого наблюдателя следующие. Для поезда-наблюдателя это просто v3. Смещение по x равно нулю, он же считает себя неподвижным. Времени по его часам до встречи прошло больше, чем единица, кстати.
Для наблюдателя на мосту надо сложить v2 и -v5. Первый — это его пространственно-временной путь, второй — начальное положение относительно начала отсчета системы, связанной с поездом. Получаем
(ch(s)+v∙sh(s), 0): ровно то же самое.
Наконец, для второго поезда сложим вектор v1 (путь) и v4-v5 (начальная позиция). Получим (ch(s)+v∙sh(s), 0). Как и в предыдущих двух случаях! Все три наблюдателя встретятся в одной и той же точке пространства-времени.
Что, в общем-то, и так было ясно: треугольник на рисунке останется треугольником в любых координатах! Да, он может может исказиться, но "разомкнуться" не сможет.
Теперь давайте посмотрим на векторы v4 и v5, выражающие начальные позиции трех объектов. В системе поезда они имеют координаты
v4=(v∙sh(s), -sh(s)) и v5=(-v∙sh(s), sh(s)).
Нас интересует первая координата, которая время. С точки зрения поезда, наблюдатель на мосту "изначально" имеет позицию -v5, то есть "в начале" он уже двигался некоторое положительное время v∙sh(s), которое легко выражается через v с помощью выписанных выше формул.
Более того, другой поезд, смещенный изначально на вектор v4-v5 (он равен
v4=2(v∙sh(s), -sh(s)) ) двигался "в начале" еще вдвое дольше.
Это и есть относительность одновременности. Наблюдатель на мосту рапортует, что в один момент времени два поезда находились на равных расстояниях v от моста и, двигаясь с равными скоростями v, столкнулись на мосту через одну единицу времени.
Наблюдатель в поезде же рапортует, что другой поезд начал движение раньше, чем мост, и его скорость была между v и 2v, но за счет более раннего старта мост и другой поезд прибыли одновременно.
Если вам не нравится идея старта (инерциально же всё, они не стартовали, а двигались с постоянными скоростями), то тоже самое: для моста они одновременно были на равных расстояниях, а для поезда — нет. То, что одновременно для моста, не одновременно для поезда.
Если бы был способ мгновенной связи, то мост бы сообщил в момент 0: "вы от меня на равных расстояниях v, время пошло!", а поезд бы ответил: "не согласен, расстояния до вас различаются не в два раза, другой поезд ближе".
Подведем итоги.
Первое. Парадокса, естественно, нет: события в одной и той же точке пространства-времени происходят в одной и той же точке пространства времени в любой системе координат. Событиям вообще ничего не известно про координаты, и нет до них не малейшего дела.
Второе. Считать можно в любых координатах, конечно, но лучше выбирать более удобные: симметричные, например.
Третье. Формулами надо пользоваться умело, а лучше понимать, откуда они берутся и что лежит в основе.
Четвертое. Если получается парадокс, ищите ошибку. У себя. Что не учли, где неправильно применили преобразование, когда совершили некорректную операцию. Совершенно точно, что ошибка у вас, а не в теории. Говорить, что вы опровергли теорию — это выглядеть пятиклассником, который узнал, что уравнение x=x+1 не имеет решений и на этом основании отвергающий язык Си, в котором такое сплошь и рядом. Задавайте вопросы, если хотите разобраться.
Последнее. В таких сложных областях, как теория относительности, нельзя полагаться на интуицию. "Одновременность", "равноудаленность", равенство интервалов времени и пройденных путей — все это может нарушаться. Аккуратно следуйте за логикой формул и преобразований. Это не так сложно. Четко формулируйте задачи. Задача может вообще не иметь смысла, например, если подразумевается одновременное действие двух или более агентов для разных наблюдателей.
Удачи на этом сложном, но увлекательном пути!