Каким бы захватывающим не было путешествие в математические дебри, периодически нужно приходить к истоку. Иначе мы заблудимся и в вечных блужданиях потеряем всякие представления о том, где находимся.
Получилось слегка философски, продолжим в том же духе. В китайской философии есть круг порождения элементов У-Син. В математике тоже есть своеобразный круг порождения математических операций, правда это больше похоже на лестницу.
В самом низу у нас находится базовые операции: сложение и вычитание. Фундаментальные вопросы: сколько всего? а сколько будет, если что-то отдать? Эти две операции порождают следующую ступень: умножение и деление, не давая ничего нового, но существенно сокращая запись. И на последней ступени у нас возведение в степень и извлечение корня, опять же для укорачивания записи. Кому-то от этого должно было стать легче. Иронично, не правда ли?
Чем выше находится операция на этой лестнице, тем выше у нее приоритет. То есть в примере мы сначала выполняем возведение в степень и извлечение корня, затем умножение и деление и, только в самом конце, сложение и вычитание. При этом если операции находятся на одной ступени мы можем выполнять их в любой последовательности.
Следовать этому порядку не всегда бывает удобно. К счастью, есть ряд свойств, которые помогают его изменить.
Заметьте, что порядок действий можно изменить только, если операции находятся на соседних ступенях. То есть можно, используя свойства, преобразовать пример так, чтобы сначала выполнялось сложение, а затем умножение. Или так, чтобы сначала выполнялось умножение, а потом возведение в степень.
А вот любимое всеми школьниками преобразование:
выполнить невозможно, потому что здесь мы перепрыгиваем через одну ступеньку. Придётся сначала выполнить сложение, а потом возведение в степень. А если есть желание изменить порядок действий, то необходимо спуститься на одну ступеньку вниз и раскрывать скобки: