6647 подписчиков

Сколько тетраэдров поместится в кубе

26 сентября 202026 сен 2020

528

~1 мин

если ребра тетраэдров и куба все равны

На этой фотографии кубическая коробочка и несколько одинаковых тетраэдров. Ребро тетраэдра и ребро куба равны.

Как вы думаете, сколько тетраэдров можно уместить внутрь этого куба?

Первая мысль, которая приходит в голову, -- положить тетраэдр внутрь куба ребром к ребру.

Проблема в том, что в таком положении центр куба попадает внутрь тетраэдра, и другой тетраэдр в таком же положении не уместится. Выход есть: ребро к ребру -- это хорошо, но грань к грани прижимать не надо.

Положив тетраэдр в куб ребро к ребру, надо немного пальцем отклонить его ближе к вертикальной грани. На картинке вправо по стрелке -- геометрическое пояснение.

Наклонить тетраэдр надо так, чтобы его зеленое ребро было перпендикулярно синей плоскости, которая делит куб пополам. Тогда центр куба окажется и на синей плоскости и на зеленом ребре -- на поверхности тетраэдра, а не внутри его.

Тогда можно будет поместить другой тетраэдр, в аналогичном положении. Он тоже прижимается ребром к ребру куба.

Первый тетраэдр, желтый, все еще надо придерживать, чтобы он не лег на нижнюю грань. Второй тетраэдр тоже лежит ребром к ребру, но не грань к грани

У первого тетраэдра с кубом общее ребро АВ, а у второго -- ребро СС1

Проще всего теперь уложить третий тетраэдр. Его нужно просто положить сверху.

У куба три скрещивающихся ребра АВ, СС₁ и А₁D₁ совпадают с ребрами одного из тетраэдров

И на закуску задачка.

Докажите, что четыре одинаковых тетраэдра в куб с таким же ребром не поместятся.