Постановка задачи
Рассмотрим скандально известную задачу, которая входила во вступительный тест 1982 года в американские колледжи.
Есть две окружности, касающиеся внешним образом. Радиус одной из них в три раза меньше радиуса другой. Меньшая окружность движется по большей пока не совершит один полный оборот. Сколько при этом поворотов совершит меньшая окружность?
Почему эта задача стала так популярна? Дело в том, что в предложенных к ней ответах не было правильного. После того, как несколько студентов доказали этот факт вопрос был пересмотрен и задача была опубликована в нескольких крупных американских изданиях. Большинство людей считают, что правильный ответ три.
Очевидно, что ответ не три и вы можете подумать пару минут и сделать другое предположение. Дальше будет указан правильный ответ.
Итак, как оказалось, маленькая окружность совершает четыре поворота. Неожиданно, правда? Кажется очевидным, что если длина окружности в три раза меньше, то она должна совершить три поворота.
Откуда же берётся еще один поворот.
Попробуем разобраться.
Всё дело в том, что меньшая монета участвует в двух движениях. С одной стороны она перемещается относительно центра большой окружности, с другой - поворачивается относительно собственного центра. Для второго движения точка С является инвариантной, то есть она не участвует в повороте, а лишь перемещается относительно точки А. Если мы посмотрим какой путь проходит эта точка, то окажется, что она движется по окружности длина которой в четыре раза больше длины маленькой окружности.
А значит меньшая окружность совершает четыре оборота. Учтём, то центр окружности всегда находится в центре окружности и отдельно они двигаться не могут. Если в голове это плохо укладывается попробуйте залипнуть на видео, может поможет. Видно, что окружность А возвращается в исходное положение, когда достигает четверти, половины и трех четвертей окружности В.
История проблемы.
Корни данной задачи лежат глубже в истории. В 1967 году была опубликована задача о двух одинаковых монетах. Постановка вопроса такая же, только радиусы окружностей одинаковы. Читатели журнала разделились на два лагеря. Одни утверждали, что монета совершает лишь один оборот, другие, что два. При этом, они благополучно забыли про монеты и сразу стали выяснять совершает ли Луна вращения вокруг собственной оси. В течение года стороны пытались убедить друг друга в своей правоте. К счастью, теперь мы знаем точный ответ. Луна вращается вокруг собственной оси, это подтвердили люди, которые были наверху и видели всё собственными глазами.