Теорема Менелая (случай 1)
Пусть точки X и Y лежат на двух сторонах (но не на вершинах) треугольника, точка Z расположена на продолжении третьей стороны треугольника.
Точки X, Y и Z лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда
(a / b) ∙ (c / d) ∙ (e / f) = 1, обозначения см. на рисунке 1.
Теорема Менелая (случай 2) или
обобщенная теорема Менелая
Пусть точки X, Y и Z расположены на продолжениях сторон треугольника.
Точки X, Y и Z лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда
(a / b) ∙ (c / d) ∙ (e / f) = 1, обозначения см. на рисунке 2.
Примечание 1. Запоминаются оба случая теоремы Менелая с помощью обхода поочередно вершин треугольника и точек пересечения прямой (со сторонами треугольника), на рисунках такой обход показан с помощью стрелок.
Примечание 2. Если рассмотреть a, b, c, d, e и f как вектора, то соотношение теоремы Менелая записывает в виде
(a / b) ∙ (c / d) ∙ (e / f) = −1.
Указания к доказательству
h₁ / h₂ = a / b,
h₂ / h₃ = c / d,
h₃ / h₁ = e / f.
∎
Аналогичный трюк с перпендикулярами и для второго случая.
Обратное утверждение теоремы Менелая доказывается «от противного».