Теорема Чевы

Определение. Чевиана — отрезок, соединяющий вершину треугольника с некоторой точкой на противоположной стороне.

Теоремы Чевы (Giovanni Ceva)

Три чевианы (см. рисунок) пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда (a / b) ∙ (c / d) ∙ (e / f) = 1.

Доказательство

Пусть чевианы пересекаются в одной точке. Тогда
1) S₁ / S₂ = a / b, S₃ / S₄ = c / d, S₅ / S₆ = e / f. Почему?
2) S₁ / S₄ = tz / wx, S₂ / S₅ = tv / xy, S₃ / S₆ = vw / yz. Почему?

Используя эти шесть отношений, получим (a / b) ∙ (c / d) ∙ (e / f) = 1.
∎

Обратное утверждение несложно доказывается «от противного».