Построение правильной треугольной пирамиды на 2D полотне программы GeoGebra

Программа динамической геометрии GeoGebra позволяет готовить стереометрические чертежи на полотне 2D, т.е. на плоскости обычным способом, которым пользуются при построении таких чертежей в тетради (на бумаге), на школьной доске и т.п. В этом случае чертежи выполняются по тем же правилам.

Рассмотрим пример построения правильной треугольной пирамиды на 2D полотне. Как известно, изображением правильного треугольника является произвольный треугольник. Вершина правильной пирамиды проецируется в центр основания, центром основания треугольника является точка пересечения медиан, поэтому вершину построим на перпендикуляре, восстановленном из центра треугольника. Перпендикуляр в пространстве строим как прямую, параллельную краю листа, т.е. вертикальную прямую – прямую, параллельную вертикальной оси координат во встроенной в программе системе координат.

Алгоритм построения некоторой правильной треугольной пирамиды на 2D полотне в программе (в описании алгоритма подразумеваем, что использование интуитивно понятного интерфейса позволяет выполнить простые построения самостоятельно):

- построить основание пирамиды – произвольный треугольник АВС (рис.1); рекомендуется строить именно тупоугольный треугольник, чтобы итоговое изображение было достаточно наглядным и элементы пирамиды не накладывались друг на друга (не перекрывали);

Рис. 1. Основание правильной треугольной пирамиды

- построить медианы треугольника (достаточно двух медиан) и найти их точку пересечения (рис. 2);

Рис. 2. Центр основания правильной треугольной пирамиды

- построить вертикальную прямую l по уравнению x = 1 (можно строить прямую х = а, а – любое; или просто отобразить оси координат, при этом вертикальная ось – прямая с уравнением х = 0);

- построить прямую, проходящую через центр основания пирамиды, параллельную вертикальной прямой l (рис. 3);

Рис. 3. Вертикальная прямая l, проходящая через центр основания правильной треугольной пирамиды

- строим произвольную точку S – вершину пирамиды, лежащую на прямой l, строим боковые ребра пирамиды (рис. 4);

Рис. 4. Правильная треугольная пирамида со вспомогательными построениями

Построенный чертеж является динамическим. Полностью свободными объектами являются точки А, В, С в основании пирамиды. Их местоположение можно менять произвольным образом. С меньшей степенью свободы можно менять положение вершины пирамиды – она перемещается только вдоль вертикальной прямой l. Это позволяет менять высоту пирамиды произвольным образом.

Рис. 5. Правильная треугольная пирамида с окончательным форматированием

Описанное построение в большей степени соответствует чертежу на бумаге. Оно не обладает такими динамическими свойствами, которые позволяют вращать пирамиду, автоматически масштабировать ее, наклонять.

Такое построение, выполненное школьниками, формирует у них навык традиционного построения. Учитель может использовать этот чертеж для включения в учебно-методические материалы (чертеж к задаче на правильную треугольную пирамиду).

Чертеж правильной треугольной пирамиды, выполненный на 2D полотне в программе GeoGebra, можно использовать как основу для разработки интерактивной обучающей модели по построению сечения пирамиды. Для этого достаточно скрыть медианы в основании и высоту пирамиды, добавить точки, через которые проходит сечение (рис. 6). Школьникам при этом предлагается следующее задание: построить сечение пирамиды, проходящее через точки M, N и K.

Рис. 6. Модель для построения сечения пирамиды

Приведем алгоритм построения сечения треугольной пирамиды в программе GeoGebra:

- построим отрезок [MN] (точки M и N лежат в одной грани, поэтому построенный отрезок является элементом конечного результата);

- построить прямую (NK), построить прямую (SB), построить точку пересечения этих прямых D; (рис. 7);

Рис. 7. Этап построения сечения треугольной пирамиды

- построим прямую (CD), построим точку пересечения прямой (CD) и отрезка (BC) - точку E;

- MNKE – искомое сечение (рис. 8).

Рис. 8. Искомое сечение треугольной пирамиды

Сначала школьникам предлагается повторить построение по образцу (в нашем случае – построить сечение треугольной пирамиды), а затем они выполняют задания самостоятельно: на готовом многограннике, построенном в программе GeoGebra, поставить точки (как показано на рисунке в задании) и построить сечение, преподаватель проверяет правильность построения сечения (это сделать очень просто – достаточно переместить какую-нибудь свободную точку и станет понятно – правильно ли построено сечение).