Надеемся, что предыдущие статьи про решение треугольников показали вам важность этой темы для освоения продвинутой геометрии. Теперь давайте предметно поговорим про прокачку этой темы для подготовки к экзаменам. Сперва обсудим некоторые общие моменты, а потом конкретные подходы.
**********
Для начала вам нужно понимать, что тема решения треугольников не является какой-то изолированной. В реальных задачах она часто будет являться неким вспомогательным инструментом. Поэтому в принципе прокачать решение треугольников можно и без специального фокуса на этом. Просто решая задачи, в которых по ходу решения возникает такая необходимость.
Однако, даже в таком случае нужно учитывать некие базовые вещи.
Во-первых, вам нужно знать все формулы для решения треугольника. Они все есть в школьной программе и если вы её хотя бы как-то освоили, то обязаны их знать. Возможно, их просто стоит дополнительно повторить, т.к. они являются ключевыми для вашей работы. И хотя простое знание формул не означает умения решать задачи с их использованием, однако без них вы точно не сможете ничего сделать.
Кстати, не страшно в начале не уметь их выводить. Многие школьники, даже весьма прокачанные в математике, могут не помнить их вывода.
Во-вторых, вам нужно иметь хорошие вычислительные и алгебраические навыки. Особенно навыки решения различных систем уравнений. В реальных задачах будут возникать гораздо более сложные ситуации, чем банальная система из двух линейных уравнений.
Сюда же следует включить и знание тригонометрии. В том числе и более сложной, чем это требуется в ЕГЭ. Напоминаю, что сама тригонометрия как раз и создавалась именно для решения треугольников.
В-третьих, вам нужна математическая выносливость. Это вытекает из требования к вашим навыкам решения уравнений, однако требует небольшого пояснения.
Многие из задач, допускающие алгебраические решения, могут быть решены по-разному в зависимости от того, что вы обозначите за неизвестные. И далеко не всегда вы с первого раза сможете выбрать удобный вариант решения. Порой задача требует очень громоздких «некрасивых» преобразований. Нужно научиться аккуратно их проводить и вообще не бояться считать. Часть учеников просто выдыхается и бросает вычисления на полпути, думая, что на экзамене-то они уж точно доведут до конца. Однако, это ложное впечатление. Вам нужно научиться доводить решения задач до конца. А ещё важнее понимать, насколько принципиально можно это сделать. Понимать, когда тупик и нужно решать иначе, а когда ещё можно пободаться даже при трёхэтажных уравнениях.
Ну а теперь о конкретных путях прокачки. Здесь есть два направления. Одно более системное и серьёзное, другое относительно простое в использовании и скорее нужно, чтобы быстро вспомнить какие-то базовые вещи.
1. Использование задачников
Перечислим основные вузоматические задачники, в которых есть разделы для отработки решения треугольников.
Геометрия на готовых чертежах (Балаян Э.Н.)
Очень хорошая вводная для решения треугольников. Книга относится скорее к школьному уровню изучения геометрии. В пособии на тему решения треугольников есть целых три специализированных раздела в 9 классе: Площадь треугольника, Теорема синусов, Теорема косинусов. Если плохо решаете треугольники, то можно сперва посмотреть там такие темы из 8 класса как Теорема Пифагора, Площадь треугольника и Соотношения в прямоугольном треугольнике.
Начинать с этого пособия хорошо из-за его наглядности. Вам не нужно тратить время на построение чертежа. Вы сразу можете перейти к решению задачи и соответствующим вычислениям. Дополнительным плюсом является и то, что к этому сборнику есть «родные» решебники для каждого класса.
Геометрия в задачах (Зеленский А.С.)
Самый первый параграф в этой книге так и называется: «Расчёт треугольников». Мы же рассматриваем решение треугольников в более широком смысле, поэтому необходимо также ознакомиться с последующими главами: «Алгебраический подход к решению геометрических задач» и «Особенности прямоугольных треугольников». Да и вообще вся первая глава «Треугольники» делает ставку именно на решение треугольников, что делает это пособие идеальным для прокачки этой темы.
Само же пособие в целом хорошо подходит для аккуратного захода в продвинутую вузоматическую геометрию. Написано очень живым, естественным и при этом грамотным языком.
Техника решения задач (Лурье М.В.)
В этом пособии интересны две главы: непостредсвенное «Решение треугольников» и «Расчёт элементов треугольника методом составления уравнений». Заданий не так много как в предыдущей книге, но как дополнение к ней подходит хорошо.
Математика-абитуриенту (Ткачук В.В.)
Главная книга для подготовки к ДВИ МГУ также содержит раздел с решением треугольников. Причём этот раздел является самым первых по геометрии. Упор там делается на буквенные преобразования, поэтому изначально требуется высокая культура решения геометрических задач. Рекомендуем изучить это пособие только тогда, когда вы уже хорошо освоитесь с темой решения треугольников.
2. Самостоятельный вывод
Следующие способы прокачивания решения треугольников подходят в качестве небольшой разминки перед серьёзными занятиями. Также это будет полезной тренировкой перед стереометрическими задачами.
Решить равносторонний треугольник
В одной из прошлых статей мы упомянули, что глупо заучивать формулы для равностороннего треугольника, а гораздо эффективнее их выводить. И дело не только в том, что так вы не будете загружать память лишней информацией. Вывод различных элементов в равностороннем треугольнике через его сторону является хорошей задачей для разминки.
Сначала попробуйте выразить основные элементы равностороннего треугольника через его сторону. Обозначьте её за a и найдите радиус вписанной окружности, радиус описанной окружности, высоту (она же медиана и биссектриса) и площадь. Дальше можно разнообразить задачу и по какому-нибудь другому элементу найти все остальные.
Ещё можно разнообразить подобные упражнения так: попробовать находить различные пути решения треугольника
Решить прямоугольный треугольник
Принцип схож с предыдущим пунктом — найти все элементы треугольника по каким-то исходным данным. Лучше всего это делать через катеты а и b. Какие-то элементы будет легко найти (например, площадь, гипотенузу или радиус описанной окружности), а что-то уже посложнее (например, биссектрисы). Обратите внимание, что в отличие от равностороннего треугольника, для которого высота-медиана-биссектриса — это одно и тоже, для прямоугольного треугольника придётся искать эти элементы отдельно.
Решить равнобедренный треугольник
Этот этап следующий по сложности. Здесь в качестве входных параметров лучше всего использовать такие: основание и боковая сторона, основание и угол при нем, основание и угол напротив него, боковая сторона и угол при вершине, боковая сторона и угол при основании. Если уже становится тяжеловато выводить, можете использовать конкретные значения для углов и сторон. Традиционно ваша цель — найти биссектрисы, медианы, высоты, радиус вписанной и описанной окружности. Если есть соответствующие знания, можете ещё и радиусы вневписанных окружностей найти, хотя обычно это лежит за пределами классической задачи о решении треугольника.
Решить произвольный треугольник с «красивыми» углами
Дальше идут уже более продвинутые вариации. Возьмите треугольник, где одна из сторон равна a, а другие неизвестны. А углы подберите известными, но обязательно кратными 15°. Например, тройку 15°, 15°, 150° или 60°, 45°, 75°. И пробуйте найти неизвестные элементы. Здесь уже вам понадобится хорошее знание тригонометрии.
Решить произвольный треугольник с известными сторонами
Ну и наконец, последний вариант для разминки. Взять любой треугольник с конкретными целочисленными сторонами и попытаться найти всего его элементы. Для большей экстремальности можно взять не целые значения сторон, а квадратные корни из целых чисел.
Решать произвольную задачу с произвольным треугольником
Это задание для самых фанатичных любителей планиметрии. Нужно придумать самому количественную задачу и попробовать ещё решить. Получается почти бой с тенью. Условия могут быть любыми. Пример: В треугольнике высота длиной 5 делит противоположную сторону на отрезки длиной 2 и 8. Найти радиусы вписанной и описанной окружности. Здесь уже нужна будет ваша фантазия. Плюс добавляется элемент непредсказуемости, т.к. вы в принципе не знаете, решаема задача или нет, есть ли эффектное решение или придётся бороться с громоздкими преобразованиями.
Для самостоятельной проверки всех указанных выше выкладок можно использовать справочные таблицы или поисковики. Существуют формулы с явным обобщенным выражением одних неизвестных элементов через другие. Учить их не надо (это полезно, только если они прямо часто вам попадаются), но использовать их можно. Соответственно, и для частных случаев вроде прямоугольного и равнобедренного треугольника эти общие формулы должны работать.
Для вычислительных же задач можно использовать для проверки инженерный калькулятор и приближенные вычисления.
************
На этом пока прервём наш разговор про решение треугольников. Из этой темы плавно вытекает ещё одна ключевая смежная задача, которая хорошо поддаётся тренировке. Возможно, как-нибудь поговорим и про неё.